関数 $f$ が閉区間 $[a, b]$ で連続であり、開区間 $(a, b)$ で微分可能である。また、開区間 $(a, b)$ で $f'(x) > 0$ とする。このとき、$f(b) > f(a)$ となることを示す。

1. 問題の内容

関数 $f$ が閉区間 $[a, b]$ で連続であり、開区間 $(a, b)$ で微分可能である。また、開区間 $(a, b)$ で $f'(x) > 0$ とする。このとき、$f(b) > f(a)$ となることを示す。

2. 解き方の手順

平均値の定理を用いる。

平均値の定理より、ある $c \in (a, b)$ が存在して、

$$$$

f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}

$$$$

が成り立つ。

ここで、$f'(c) > 0$ (仮定より)であり、$b - a > 0$ (定義より、$b > a$)であるから、

$$$$

f(b) - f(a) = f'(c)(b - a) > 0

$$$$

したがって、$f(b) - f(a) > 0$、つまり $f(b) > f(a)$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

$f(b) > f(a)$