$\int \frac{1}{x^2 - 1} dx$ を求める問題です。

## 問題 (9)

1. 問題の内容

$\int \frac{1}{x^2 - 1} dx$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を部分分数分解します。

$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$ より、

$$\frac{1}{x^2 - 1} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 1}$$

となる $A$ と $B$ を求めます。両辺に $(x - 1)(x + 1)$ を掛けると、

$$1 = A(x + 1) + B(x - 1)$$

$x = 1$ を代入すると $1 = 2A$ より $A = \frac{1}{2}$。

$x = -1$ を代入すると $1 = -2B$ より $B = -\frac{1}{2}$。

よって、

$$\frac{1}{x^2 - 1} = \frac{1}{2(x - 1)} - \frac{1}{2(x + 1)}$$

したがって、積分は

$$\int \frac{1}{x^2 - 1} dx = \int \left( \frac{1}{2(x - 1)} - \frac{1}{2(x + 1)} \right) dx$$

$$= \frac{1}{2} \int \frac{1}{x - 1} dx - \frac{1}{2} \int \frac{1}{x + 1} dx$$

$$= \frac{1}{2} \ln |x - 1| - \frac{1}{2} \ln |x + 1| + C$$

$$= \frac{1}{2} \ln \left| \frac{x - 1}{x + 1} \right| + C$$

3. 最終的な答え

$$\frac{1}{2} \ln \left| \frac{x - 1}{x + 1} \right| + C$$

## 問題 (10)

1. 問題の内容

$\int \frac{1}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)} dx$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を部分分数分解します。

$$\frac{1}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)} = \frac{A}{x^2 + 1} + \frac{B}{x^2 + 4}$$

となる $A$ と $B$ を求めます。両辺に $(x^2 + 1)(x^2 + 4)$ を掛けると、

$$1 = A(x^2 + 4) + B(x^2 + 1)$$

$x^2 = -1$ を代入すると $1 = 3A$ より $A = \frac{1}{3}$。

$x^2 = -4$ を代入すると $1 = -3B$ より $B = -\frac{1}{3}$。

よって、

$$\frac{1}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)} = \frac{1}{3(x^2 + 1)} - \frac{1}{3(x^2 + 4)}$$

したがって、積分は

$$\int \frac{1}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)} dx = \int \left( \frac{1}{3(x^2 + 1)} - \frac{1}{3(x^2 + 4)} \right) dx$$

$$= \frac{1}{3} \int \frac{1}{x^2 + 1} dx - \frac{1}{3} \int \frac{1}{x^2 + 4} dx$$

$$= \frac{1}{3} \arctan x - \frac{1}{3} \int \frac{1}{x^2 + 2^2} dx$$

$$= \frac{1}{3} \arctan x - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \arctan \frac{x}{2} + C$$

$$= \frac{1}{3} \arctan x - \frac{1}{6} \arctan \frac{x}{2} + C$$

3. 最終的な答え

$$\frac{1}{3} \arctan x - \frac{1}{6} \arctan \frac{x}{2} + C$$

## 問題 (11)

1. 問題の内容

$\int \frac{x + 3}{x^2 + x + 4} dx$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、分母を平方完成させます。

$x^2 + x + 4 = (x + \frac{1}{2})^2 + \frac{15}{4}$

分子を $x + \frac{1}{2}$ の形に変形します。

$x + 3 = (x + \frac{1}{2}) + \frac{5}{2}$

よって、積分は

$$\int \frac{x + 3}{x^2 + x + 4} dx = \int \frac{(x + \frac{1}{2}) + \frac{5}{2}}{(x + \frac{1}{2})^2 + \frac{15}{4}} dx$$

$$= \int \frac{x + \frac{1}{2}}{(x + \frac{1}{2})^2 + \frac{15}{4}} dx + \int \frac{\frac{5}{2}}{(x + \frac{1}{2})^2 + \frac{15}{4}} dx$$

最初の積分は $u = (x + \frac{1}{2})^2 + \frac{15}{4}$ と置換すると $du = 2(x + \frac{1}{2}) dx$ より

$$\int \frac{x + \frac{1}{2}}{(x + \frac{1}{2})^2 + \frac{15}{4}} dx = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} du = \frac{1}{2} \ln |u| + C_1 = \frac{1}{2} \ln \left( (x + \frac{1}{2})^2 + \frac{15}{4} \right) + C_1$$

$$= \frac{1}{2} \ln (x^2 + x + 4) + C_1$$

2つ目の積分は

$$\frac{5}{2} \int \frac{1}{(x + \frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{15}}{2})^2} dx = \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{15}}{2}} \arctan \frac{x + \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{15}}{2}} + C_2$$

$$= \frac{5}{\sqrt{15}} \arctan \frac{2x + 1}{\sqrt{15}} + C_2 = \frac{\sqrt{15}}{3} \arctan \frac{2x + 1}{\sqrt{15}} + C_2$$

したがって、

$$\int \frac{x + 3}{x^2 + x + 4} dx = \frac{1}{2} \ln (x^2 + x + 4) + \frac{\sqrt{15}}{3} \arctan \frac{2x + 1}{\sqrt{15}} + C$$

3. 最終的な答え

$$\frac{1}{2} \ln (x^2 + x + 4) + \frac{\sqrt{15}}{3} \arctan \frac{2x + 1}{\sqrt{15}} + C$$

## 問題 (12)

1. 問題の内容

$\int \frac{\sin x}{2 + \tan^2 x} dx$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

$\tan x = t$ と置換すると、$\frac{1}{\cos^2 x} dx = dt$ より $(1 + \tan^2 x) dx = dt$

$dx = \frac{dt}{1 + \tan^2 x} = \frac{dt}{1 + t^2}$

$\sin x = \frac{\tan x}{\sqrt{1 + \tan^2 x}} = \frac{t}{\sqrt{1 + t^2}}$

または

$\tan^2 x = \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}$

$2 + \tan^2 x = 2 + \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{2\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{2\cos^2 x + 1 - \cos^2 x}{\cos^2 x} = \frac{\cos^2 x + 1}{\cos^2 x}$

$\int \frac{\sin x}{2 + \tan^2 x} dx = \int \frac{\sin x \cos^2 x}{\cos^2 x + 1} dx$

$u = \cos x$ とおくと, $du = -\sin x dx$.

$$\int \frac{\sin x \cos^2 x}{\cos^2 x + 1} dx = \int \frac{-u^2}{u^2 + 1} du = - \int \frac{u^2 + 1 - 1}{u^2 + 1} du = - \int \left( 1 - \frac{1}{u^2 + 1} \right) du$$

$$= - u + \arctan u + C = - \cos x + \arctan (\cos x) + C$$

3. 最終的な答え

$$- \cos x + \arctan (\cos x) + C$$

## 問題 (13)

1. 問題の内容

$\int \frac{\cos^3 x}{\sin^2 x} dx$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

$$\int \frac{\cos^3 x}{\sin^2 x} dx = \int \frac{\cos x (1 - \sin^2 x)}{\sin^2 x} dx = \int \frac{\cos x}{\sin^2 x} dx - \int \cos x dx$$

$u = \sin x$ とおくと, $du = \cos x dx$ より

$$\int \frac{\cos x}{\sin^2 x} dx = \int \frac{1}{u^2} du = - \frac{1}{u} + C_1 = - \frac{1}{\sin x} + C_1$$

$$- \int \cos x dx = - \sin x + C_2$$

よって、

$$\int \frac{\cos^3 x}{\sin^2 x} dx = - \frac{1}{\sin x} - \sin x + C$$

3. 最終的な答え

$$- \frac{1}{\sin x} - \sin x + C$$

## 問題 (14)

1. 問題の内容

$\int \sin (\log x) dx$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

部分積分を行います。

$u = \sin (\log x)$, $dv = dx$ とおくと, $du = \frac{\cos (\log x)}{x} dx$, $v = x$.

$$\int \sin (\log x) dx = x \sin (\log x) - \int x \frac{\cos (\log x)}{x} dx = x \sin (\log x) - \int \cos (\log x) dx$$

次に $\int \cos (\log x) dx$ を計算します.

$u = \cos (\log x)$, $dv = dx$ とおくと, $du = - \frac{\sin (\log x)}{x} dx$, $v = x$.

$$\int \cos (\log x) dx = x \cos (\log x) - \int x \left( - \frac{\sin (\log x)}{x} \right) dx = x \cos (\log x) + \int \sin (\log x) dx$$

したがって,

$$\int \sin (\log x) dx = x \sin (\log x) - \left( x \cos (\log x) + \int \sin (\log x) dx \right)$$

$$2 \int \sin (\log x) dx = x \sin (\log x) - x \cos (\log x)$$

$$\int \sin (\log x) dx = \frac{x}{2} \left( \sin (\log x) - \cos (\log x) \right) + C$$

3. 最終的な答え

$$\frac{x}{2} \left( \sin (\log x) - \cos (\log x) \right) + C$$

## 問題 (15)

1. 問題の内容

$\int \arctan \sqrt{x} dx$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

$t = \sqrt{x}$ と置換すると、$x = t^2$, $dx = 2t dt$

$$\int \arctan \sqrt{x} dx = \int \arctan t \cdot 2t dt = 2 \int t \arctan t dt$$

部分積分を行います。

$u = \arctan t$, $dv = t dt$ とおくと, $du = \frac{1}{1 + t^2} dt$, $v = \frac{t^2}{2}$.

$$2 \int t \arctan t dt = 2 \left( \frac{t^2}{2} \arctan t - \int \frac{t^2}{2} \cdot \frac{1}{1 + t^2} dt \right) = t^2 \arctan t - \int \frac{t^2}{t^2 + 1} dt$$

$$= t^2 \arctan t - \int \frac{t^2 + 1 - 1}{t^2 + 1} dt = t^2 \arctan t - \int \left( 1 - \frac{1}{t^2 + 1} \right) dt$$

$$= t^2 \arctan t - t + \arctan t + C = (t^2 + 1) \arctan t - t + C$$

$t = \sqrt{x}$ より

$$\int \arctan \sqrt{x} dx = (x + 1) \arctan \sqrt{x} - \sqrt{x} + C$$

3. 最終的な答え

$$(x + 1) \arctan \sqrt{x} - \sqrt{x} + C$$

## 問題 (16)

1. 問題の内容

$\int \frac{1}{x \sqrt{1 + x^2}} dx$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

$x = \tan \theta$ と置換すると, $dx = \frac{1}{\cos^2 \theta} d\theta = (1 + \tan^2 \theta) d\theta$

$$\int \frac{1}{x \sqrt{1 + x^2}} dx = \int \frac{1}{\tan \theta \sqrt{1 + \tan^2 \theta}} (1 + \tan^2 \theta) d\theta = \int \frac{1 + \tan^2 \theta}{\tan \theta \sqrt{1 + \tan^2 \theta}} d\theta$$

$$= \int \frac{1 + \tan^2 \theta}{\tan \theta \frac{1}{\cos \theta}} d\theta = \int \frac{\frac{1}{\cos^2 \theta}}{\frac{\sin \theta}{\cos \theta} \frac{1}{\cos \theta}} d\theta = \int \frac{\frac{1}{\cos^2 \theta}}{\frac{\sin \theta}{\cos^2 \theta}} d\theta = \int \frac{1}{\sin \theta} d\theta = \int \csc \theta d\theta$$

$$= - \ln |\csc \theta + \cot \theta| + C$$

$x = \tan \theta$ より, $\csc \theta = \frac{\sqrt{1 + x^2}}{x}$, $\cot \theta = \frac{1}{x}$.

$$\int \frac{1}{x \sqrt{1 + x^2}} dx = - \ln \left| \frac{\sqrt{1 + x^2}}{x} + \frac{1}{x} \right| + C = - \ln \left| \frac{\sqrt{1 + x^2} + 1}{x} \right| + C$$

3. 最終的な答え

$$- \ln \left| \frac{\sqrt{1 + x^2} + 1}{x} \right| + C$$

## 問題 (17)

1. 問題の内容

$\int \frac{\sqrt{1 + \log x}}{x} dx$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

$u = 1 + \log x$ と置換すると、$du = \frac{1}{x} dx$

$$\int \frac{\sqrt{1 + \log x}}{x} dx = \int \sqrt{u} du = \int u^{\frac{1}{2}} du = \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$$

$$= \frac{2}{3} (1 + \log x)^{\frac{3}{2}} + C$$

3. 最終的な答え

$$\frac{2}{3} (1 + \log x)^{\frac{3}{2}} + C$$

## 問題 (18)

1. 問題の内容

$\int \sqrt{4x - x^2} dx$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

$$\int \sqrt{4x - x^2} dx = \int \sqrt{4 - (x - 2)^2} dx$$

$x - 2 = 2 \sin \theta$ と置換すると、$dx = 2 \cos \theta d\theta$

$$\int \sqrt{4 - (x - 2)^2} dx = \int \sqrt{4 - 4 \sin^2 \theta} 2 \cos \theta d\theta = \int 2 \cos \theta \cdot 2 \cos \theta d\theta = 4 \int \cos^2 \theta d\theta$$

$$= 4 \int \frac{1 + \cos 2\theta}{2} d\theta = 2 \int (1 + \cos 2\theta) d\theta = 2 \left( \theta + \frac{1}{2} \sin 2\theta \right) + C$$

$$= 2 \theta + \sin 2\theta + C = 2 \theta + 2 \sin \theta \cos \theta + C$$

$x - 2 = 2 \sin \theta$ より, $\sin \theta = \frac{x - 2}{2}$, $\theta = \arcsin \frac{x - 2}{2}$, $\cos \theta = \frac{\sqrt{4 - (x - 2)^2}}{2} = \frac{\sqrt{4x - x^2}}{2}$.

$$\int \sqrt{4x - x^2} dx = 2 \arcsin \frac{x - 2}{2} + 2 \frac{x - 2}{2} \frac{\sqrt{4x - x^2}}{2} + C$$

$$= 2 \arcsin \frac{x - 2}{2} + \frac{x - 2}{2} \sqrt{4x - x^2} + C$$

3. 最終的な答え

$$2 \arcsin \frac{x - 2}{2} + \frac{x - 2}{2} \sqrt{4x - x^2} + C$$