区間 $[a, b]$ を $n$ 等分し、関数 $f(x) = x$ のリーマン和を計算する。各小区間の代表点として左端、中点、右端を選んだ場合のリーマン和をそれぞれ $L_n, M_n, R_n$ とする。以下の問いに答えよ。 1. 分割 $\Delta: a = x_0, x_1, ..., x_n = b$ とするときの $x_i$ を $a, b, n, i$ で表せ。

1. 問題の内容

区間 $[a, b]$ を $n$ 等分し、関数 $f(x) = x$ のリーマン和を計算する。各小区間の代表点として左端、中点、右端を選んだ場合のリーマン和をそれぞれ $L_n, M_n, R_n$ とする。以下の問いに答えよ。

1. 分割 $\Delta: a = x_0, x_1, ..., x_n = b$ とするときの $x_i$ を $a, b, n, i$ で表せ。

2. $L_n, M_n, R_n$ を $a, b, n$ で表せ。

3. $\lim_{n \to \infty} L_n, \lim_{n \to \infty} M_n, \lim_{n \to \infty} R_n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

1. 区間 $[a, b]$ を $n$ 等分するので、各小区間の幅 $\Delta x$ は $\frac{b-a}{n}$ である。したがって、 $x_i$ は $a + i \Delta x$ で表される。

$$x_i = a + i \frac{b-a}{n}$$

2. $L_n, M_n, R_n$ を計算する。

$L_n$ は左端を代表点とするリーマン和なので、

$$L_n = \sum_{i=0}^{n-1} f(x_i) \Delta x = \sum_{i=0}^{n-1} x_i \frac{b-a}{n} = \frac{b-a}{n} \sum_{i=0}^{n-1} \left( a + i \frac{b-a}{n} \right)$$

$$L_n = \frac{b-a}{n} \left( na + \frac{b-a}{n} \sum_{i=0}^{n-1} i \right) = \frac{b-a}{n} \left( na + \frac{b-a}{n} \frac{n(n-1)}{2} \right)$$

$$L_n = (b-a) \left( a + \frac{b-a}{n} \frac{n-1}{2} \right) = (b-a) \left( a + \frac{(b-a)(n-1)}{2n} \right)$$

$$L_n = (b-a)a + (b-a)^2 \frac{n-1}{2n} = a(b-a) + \frac{(b-a)^2}{2} \left( 1 - \frac{1}{n} \right)$$

$M_n$ は中点を代表点とするリーマン和なので、

$$M_n = \sum_{i=0}^{n-1} f\left( \frac{x_i + x_{i+1}}{2} \right) \Delta x = \sum_{i=0}^{n-1} \frac{x_i + x_{i+1}}{2} \frac{b-a}{n} = \frac{b-a}{n} \sum_{i=0}^{n-1} \frac{1}{2} \left( a + i\frac{b-a}{n} + a + (i+1)\frac{b-a}{n} \right)$$

$$M_n = \frac{b-a}{n} \sum_{i=0}^{n-1} \left(a + \frac{2i+1}{2} \frac{b-a}{n} \right) = \frac{b-a}{n} \left( na + \frac{b-a}{2n} \sum_{i=0}^{n-1} (2i+1) \right)$$

$$M_n = (b-a) \left( a + \frac{b-a}{2n^2} \sum_{i=0}^{n-1} (2i+1) \right) = (b-a) \left( a + \frac{b-a}{2n^2} n^2 \right) = (b-a) \left( a + \frac{b-a}{2} \right)$$

$$M_n = (b-a) \frac{2a+b-a}{2} = (b-a) \frac{a+b}{2} = \frac{b^2 - a^2}{2}$$

$R_n$ は右端を代表点とするリーマン和なので、

$$R_n = \sum_{i=1}^{n} f(x_i) \Delta x = \sum_{i=1}^{n} x_i \frac{b-a}{n} = \frac{b-a}{n} \sum_{i=1}^{n} \left( a + i \frac{b-a}{n} \right)$$

$$R_n = \frac{b-a}{n} \left( na + \frac{b-a}{n} \sum_{i=1}^{n} i \right) = \frac{b-a}{n} \left( na + \frac{b-a}{n} \frac{n(n+1)}{2} \right)$$

$$R_n = (b-a) \left( a + \frac{b-a}{n} \frac{n+1}{2} \right) = (b-a) \left( a + \frac{(b-a)(n+1)}{2n} \right)$$

$$R_n = a(b-a) + \frac{(b-a)^2}{2} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)$$

3. $L_n, M_n, R_n$ の極限を求める。

$$\lim_{n \to \infty} L_n = \lim_{n \to \infty} \left( a(b-a) + \frac{(b-a)^2}{2} \left( 1 - \frac{1}{n} \right) \right) = a(b-a) + \frac{(b-a)^2}{2} = \frac{b^2 - a^2}{2}$$

$$\lim_{n \to \infty} M_n = \frac{b^2 - a^2}{2}$$

$$\lim_{n \to \infty} R_n = \lim_{n \to \infty} \left( a(b-a) + \frac{(b-a)^2}{2} \left( 1 + \frac{1}{n} \right) \right) = a(b-a) + \frac{(b-a)^2}{2} = \frac{b^2 - a^2}{2}$$

3. 最終的な答え

1. $x_i = a + i \frac{b-a}{n}$

2. $L_n = a(b-a) + \frac{(b-a)^2}{2} (1 - \frac{1}{n})$

$M_n = \frac{b^2 - a^2}{2}$

$R_n = a(b-a) + \frac{(b-a)^2}{2} (1 + \frac{1}{n})$

3. $\lim_{n \to \infty} L_n = \frac{b^2 - a^2}{2}$

$\lim_{n \to \infty} M_n = \frac{b^2 - a^2}{2}$

$\lim_{n \to \infty} R_n = \frac{b^2 - a^2}{2}$