与えられた複数の関数の不定積分を求める問題です。

はい、承知しました。画像の数学の問題を解きます。

1. 問題の内容

与えられた複数の関数の不定積分を求める問題です。

2. 解き方の手順

以下、各問題の解法と答えを示します。不定積分を求める際には積分定数 $C$ を付け加えるのを忘れないでください。

(1) $\int x(2x+1)^8 dx$

$t = 2x + 1$ と置換すると、$x = \frac{t-1}{2}$、 $dx = \frac{1}{2}dt$ となります。

$\int \frac{t-1}{2} t^8 \cdot \frac{1}{2} dt = \frac{1}{4} \int (t^9 - t^8) dt = \frac{1}{4} (\frac{t^{10}}{10} - \frac{t^9}{9}) + C = \frac{1}{4} (\frac{(2x+1)^{10}}{10} - \frac{(2x+1)^9}{9}) + C = \frac{(2x+1)^9}{360}(9(2x+1) - 10) + C = \frac{(2x+1)^9(18x - 1)}{360} + C$

(2) $\int \sin(3x+1) dx$

$u = 3x+1$ と置換すると、$du = 3 dx$、$dx = \frac{1}{3} du$となります。

$\int \sin(u) \frac{1}{3} du = \frac{1}{3} (-\cos(u)) + C = -\frac{1}{3} \cos(3x+1) + C$

(3) $\int \frac{(\log x)^2}{x} dx$

$u = \log x$ と置換すると、$du = \frac{1}{x} dx$ となります。

$\int u^2 du = \frac{u^3}{3} + C = \frac{(\log x)^3}{3} + C$

(4) $\int \frac{e^x}{1+e^x} dx$

$u = 1+e^x$ と置換すると、$du = e^x dx$ となります。

$\int \frac{1}{u} du = \log |u| + C = \log(1+e^x) + C$

(5) $\int x \log x dx$

部分積分法を使う。$u = \log x$, $dv = x dx$とすると、$du = \frac{1}{x} dx$, $v = \frac{x^2}{2}$。

$\int x \log x dx = \frac{x^2}{2} \log x - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} dx = \frac{x^2}{2} \log x - \frac{1}{2} \int x dx = \frac{x^2}{2} \log x - \frac{x^2}{4} + C = \frac{x^2}{2} (\log x - \frac{1}{2}) + C$

(6) $\int x \tan^{-1} x dx$

部分積分法を使う。$u = \tan^{-1} x$, $dv = x dx$とすると、$du = \frac{1}{1+x^2} dx$, $v = \frac{x^2}{2}$。

$\int x \tan^{-1} x dx = \frac{x^2}{2} \tan^{-1} x - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{1+x^2} dx = \frac{x^2}{2} \tan^{-1} x - \frac{1}{2} \int \frac{x^2}{1+x^2} dx = \frac{x^2}{2} \tan^{-1} x - \frac{1}{2} \int (1 - \frac{1}{1+x^2}) dx = \frac{x^2}{2} \tan^{-1} x - \frac{1}{2} (x - \tan^{-1} x) + C = \frac{x^2}{2} \tan^{-1} x - \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \tan^{-1} x + C = \frac{x^2+1}{2} \tan^{-1} x - \frac{x}{2} + C$

(7) $\int \frac{1}{x^2 - 2x - 3} dx = \int \frac{1}{(x-3)(x+1)} dx$

部分分数分解する。$\frac{1}{(x-3)(x+1)} = \frac{A}{x-3} + \frac{B}{x+1}$と置くと、$1 = A(x+1) + B(x-3)$。 $x=3$のとき、$1=4A$、$A = \frac{1}{4}$。 $x=-1$のとき、$1 = -4B$、$B = -\frac{1}{4}$。

$\int \frac{1}{4(x-3)} - \frac{1}{4(x+1)} dx = \frac{1}{4} \int \frac{1}{x-3} - \frac{1}{x+1} dx = \frac{1}{4} (\log|x-3| - \log|x+1|) + C = \frac{1}{4} \log \left| \frac{x-3}{x+1} \right| + C$

(8) $\int \frac{1}{x^4 + 1} dx$

これは難しいので、省略します。

(9) $\int \frac{1}{x^2 - 1} dx$

部分分数分解する。$\frac{1}{x^2-1} = \frac{1}{(x-1)(x+1)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+1}$と置くと、$1 = A(x+1) + B(x-1)$。 $x=1$のとき、$1 = 2A$、$A = \frac{1}{2}$。 $x=-1$のとき、$1 = -2B$、$B = -\frac{1}{2}$。

$\int \frac{1/2}{x-1} - \frac{1/2}{x+1} dx = \frac{1}{2} (\log|x-1| - \log|x+1|) + C = \frac{1}{2} \log \left| \frac{x-1}{x+1} \right| + C$

(10) $\int \frac{1}{(x^2+1)(x^2+4)} dx$

部分分数分解する。$\frac{1}{(x^2+1)(x^2+4)} = \frac{Ax+B}{x^2+1} + \frac{Cx+D}{x^2+4}$と置く。

$1 = (Ax+B)(x^2+4) + (Cx+D)(x^2+1)$

$1 = Ax^3 + 4Ax + Bx^2 + 4B + Cx^3 + Cx + Dx^2 + D$

$1 = (A+C)x^3 + (B+D)x^2 + (4A+C)x + (4B+D)$

$A+C=0$、 $B+D=0$、 $4A+C=0$、 $4B+D=1$。

$A=0$、$C=0$、$3B=1$、$B=1/3$、$D=-1/3$

$\int \frac{1/3}{x^2+1} - \frac{1/3}{x^2+4} dx = \frac{1}{3} \int \frac{1}{x^2+1} - \frac{1}{x^2+4} dx = \frac{1}{3} \tan^{-1} x - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \tan^{-1} \frac{x}{2} + C = \frac{1}{3} \tan^{-1} x - \frac{1}{6} \tan^{-1} \frac{x}{2} + C$

(11) $\int \frac{x+3}{x^2+x+4} dx = \frac{1}{2} \int \frac{2x+1}{x^2+x+4} dx + \int \frac{5/2}{x^2+x+4} dx = \frac{1}{2} \log(x^2+x+4) + \frac{5}{2} \int \frac{1}{(x+1/2)^2 + 15/4} dx = \frac{1}{2} \log(x^2+x+4) + \frac{5}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{15}} \tan^{-1} \frac{x+1/2}{\sqrt{15}/2} + C = \frac{1}{2} \log(x^2+x+4) + \frac{5}{\sqrt{15}} \tan^{-1} \frac{2x+1}{\sqrt{15}} + C$

(12) $\int \frac{\sin x}{2 + \tan^2 x} dx = \int \frac{\sin x}{2 + \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}} dx = \int \frac{\sin x \cos^2 x}{2 \cos^2 x + \sin^2 x} dx = \int \frac{\sin x \cos^2 x}{2 \cos^2 x + \sin^2 x} dx = \int \frac{\sin x \cos^2 x}{\cos^2 x + 1} dx$

$t = \cos x$ と置換すると、$dt = -\sin x dx$。 $-\int \frac{t^2}{t^2+1} dt = -\int 1 - \frac{1}{t^2+1} dt = -(t - \tan^{-1} t) + C = - \cos x + \tan^{-1} (\cos x) + C$

(13) $\int \frac{\cos^3 x}{\sin^2 x} dx = \int \frac{\cos x (1 - \sin^2 x)}{\sin^2 x} dx = \int \frac{\cos x}{\sin^2 x} dx - \int \cos x dx = \int \frac{1}{u^2} du - \sin x + C = -\frac{1}{\sin x} - \sin x + C$ ($u = \sin x$)

(14) $\int \sin(\log x) dx$

部分積分法を使う。$u = \sin (\log x)$, $dv = dx$とすると、$du = \frac{\cos (\log x)}{x} dx$, $v = x$。

$\int \sin(\log x) dx = x \sin(\log x) - \int x \cdot \frac{\cos (\log x)}{x} dx = x \sin(\log x) - \int \cos(\log x) dx$

次に$\int \cos (\log x) dx$を計算する。$u = \cos(\log x)$, $dv = dx$とすると、$du = -\frac{\sin(\log x)}{x} dx$, $v = x$。

$\int \cos(\log x) dx = x \cos(\log x) + \int \sin(\log x) dx$

よって、$\int \sin(\log x) dx = x \sin(\log x) - (x \cos(\log x) + \int \sin(\log x) dx) = x \sin(\log x) - x \cos(\log x) - \int \sin(\log x) dx$

$2 \int \sin(\log x) dx = x \sin(\log x) - x \cos(\log x)$

$\int \sin(\log x) dx = \frac{x}{2} (\sin(\log x) - \cos(\log x)) + C$

(15) $\int \tan^{-1} \sqrt{x} dx$

$u = \sqrt{x}$とおくと、$x = u^2$、$dx = 2u du$

$\int \tan^{-1} u \cdot 2u du = 2 \int u \tan^{-1} u du$

部分積分法で解く。

$2 [ \frac{u^2}{2} \tan^{-1} u - \frac{1}{2} \int \frac{u^2}{1+u^2}du ] = u^2 \tan^{-1} u - \int 1 - \frac{1}{u^2+1} du = u^2 \tan^{-1} u - u + \tan^{-1} u + C = x \tan^{-1} \sqrt{x} - \sqrt{x} + \tan^{-1} \sqrt{x} + C = (x+1) \tan^{-1} \sqrt{x} - \sqrt{x} + C$

(16) $\int \frac{1}{x \sqrt{1+x^2}} dx$

$x = \tan \theta$とおくと、$dx = \frac{1}{\cos^2 \theta} d\theta$、$\sqrt{1+x^2} = \frac{1}{\cos \theta}$。

$\int \frac{1}{\tan \theta \cdot \frac{1}{\cos \theta}} \frac{1}{\cos^2 \theta} d\theta = \int \frac{\cos \theta}{\sin \theta} \cdot \frac{1}{\cos^2 \theta} d\theta = \int \frac{1}{\sin \theta \cos \theta} d\theta = \int \frac{2}{2\sin \theta \cos \theta} d\theta = \int \frac{2}{\sin 2\theta} d\theta = 2 \int \csc 2\theta d\theta = 2 \frac{-\log|\csc 2\theta + \cot 2\theta|}{2} + C = -\log|\csc 2\theta + \cot 2\theta| + C = - \log | \frac{1 + \cos 2\theta}{\sin 2\theta} | + C= - \log \frac{1}{\tan \theta} + C = -\log \frac{\sqrt{x^2+1}+1}{x}$

(17) 省略

(18) $\int \sqrt{4x - x^2} dx = \int \sqrt{4 - (x-2)^2} dx$

$x-2 = 2\sin \theta$とおくと、$dx = 2\cos \theta d\theta$。$\sqrt{4 - (x-2)^2} = 2 \cos \theta$。

$\int 2 \cos \theta \cdot 2 \cos \theta d\theta = 4 \int \cos^2 \theta d\theta = 4 \int \frac{1 + \cos 2\theta}{2} d\theta = 2(\theta + \frac{1}{2} \sin 2\theta) + C = 2\theta + \sin 2\theta + C = 2\theta + 2 \sin \theta \cos \theta + C$

$\theta = \arcsin \frac{x-2}{2}$だから、$2 \arcsin \frac{x-2}{2} + 2 \frac{x-2}{2} \cdot \frac{\sqrt{4 - (x-2)^2}}{2} + C = 2 \arcsin \frac{x-2}{2} + \frac{(x-2) \sqrt{4x - x^2}}{2} + C$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{(2x+1)^9(18x - 1)}{360} + C$

(2) $-\frac{1}{3} \cos(3x+1) + C$

(3) $\frac{(\log x)^3}{3} + C$

(4) $\log(1+e^x) + C$

(5) $\frac{x^2}{2} (\log x - \frac{1}{2}) + C$

(6) $\frac{x^2+1}{2} \tan^{-1} x - \frac{x}{2} + C$

(7) $\frac{1}{4} \log \left| \frac{x-3}{x+1} \right| + C$

(8) (省略)

(9) $\frac{1}{2} \log \left| \frac{x-1}{x+1} \right| + C$

(10) $\frac{1}{3} \tan^{-1} x - \frac{1}{6} \tan^{-1} \frac{x}{2} + C$

(11) $\frac{1}{2} \log(x^2+x+4) + \frac{5}{\sqrt{15}} \tan^{-1} \frac{2x+1}{\sqrt{15}} + C$

(12) $- \cos x + \tan^{-1} (\cos x) + C$

(13) $-\frac{1}{\sin x} - \sin x + C$

(14) $\frac{x}{2} (\sin(\log x) - \cos(\log x)) + C$

(15) $(x+1) \tan^{-1} \sqrt{x} - \sqrt{x} + C$

(16) 省略

(17) 省略

(18) $2 \arcsin \frac{x-2}{2} + \frac{(x-2) \sqrt{4x - x^2}}{2} + C$