次の関数の不定積分を求めよ。 (1) $x(2x+1)^8$ (2) $\sin(3x+1)$ (3) $\frac{(\log x)^2}{x}$ (4) $\frac{e^x}{1+e^x}$ (5) $x \log x$ (6) $x \arctan x$ (7) $\frac{1}{x^2-2x-3}$ (8) $\frac{1}{x^4+1}$

はい、承知いたしました。画像の問題を解きます。

1. 問題の内容

次の関数の不定積分を求めよ。

(1) $x(2x+1)^8$

(2) $\sin(3x+1)$

(3) $\frac{(\log x)^2}{x}$

(4) $\frac{e^x}{1+e^x}$

(5) $x \log x$

(6) $x \arctan x$

(7) $\frac{1}{x^2-2x-3}$

(8) $\frac{1}{x^4+1}$

2. 解き方の手順

(1) $x(2x+1)^8$

置換積分を行います。$u = 2x+1$とすると、$du = 2dx$、つまり$dx = \frac{1}{2}du$です。また、$x = \frac{u-1}{2}$となります。

よって、

$\int x(2x+1)^8 dx = \int \frac{u-1}{2} u^8 \frac{1}{2} du = \frac{1}{4} \int (u^9 - u^8) du = \frac{1}{4} (\frac{u^{10}}{10} - \frac{u^9}{9}) + C = \frac{1}{40} (2x+1)^{10} - \frac{1}{36} (2x+1)^9 + C$

(2) $\sin(3x+1)$

これも置換積分です。$u = 3x+1$とすると、$du = 3dx$、つまり$dx = \frac{1}{3}du$です。

$\int \sin(3x+1) dx = \int \sin(u) \frac{1}{3} du = \frac{1}{3} (-\cos u) + C = -\frac{1}{3} \cos(3x+1) + C$

(3) $\frac{(\log x)^2}{x}$

置換積分です。$u = \log x$とすると、$du = \frac{1}{x} dx$となります。

$\int \frac{(\log x)^2}{x} dx = \int u^2 du = \frac{u^3}{3} + C = \frac{(\log x)^3}{3} + C$

(4) $\frac{e^x}{1+e^x}$

置換積分です。$u = 1+e^x$とすると、$du = e^x dx$となります。

$\int \frac{e^x}{1+e^x} dx = \int \frac{1}{u} du = \log |u| + C = \log(1+e^x) + C$

(5) $x \log x$

部分積分を行います。$u = \log x$, $dv = x dx$とすると、$du = \frac{1}{x} dx$, $v = \frac{x^2}{2}$となります。

$\int x \log x dx = \frac{x^2}{2} \log x - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} dx = \frac{x^2}{2} \log x - \int \frac{x}{2} dx = \frac{x^2}{2} \log x - \frac{x^2}{4} + C$

(6) $x \arctan x$

部分積分を行います。$u = \arctan x$, $dv = x dx$とすると、$du = \frac{1}{1+x^2} dx$, $v = \frac{x^2}{2}$となります。

$\int x \arctan x dx = \frac{x^2}{2} \arctan x - \int \frac{x^2}{2(1+x^2)} dx = \frac{x^2}{2} \arctan x - \frac{1}{2} \int \frac{x^2+1-1}{1+x^2} dx = \frac{x^2}{2} \arctan x - \frac{1}{2} \int (1 - \frac{1}{1+x^2}) dx = \frac{x^2}{2} \arctan x - \frac{1}{2} (x - \arctan x) + C = \frac{x^2}{2} \arctan x - \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \arctan x + C$

(7) $\frac{1}{x^2-2x-3}$

部分分数分解を行います。$x^2-2x-3 = (x-3)(x+1)$なので、

$\frac{1}{x^2-2x-3} = \frac{A}{x-3} + \frac{B}{x+1}$とおくと、$1 = A(x+1) + B(x-3)$となります。

$x = 3$のとき、$1 = 4A$, $A = \frac{1}{4}$

$x = -1$のとき、$1 = -4B$, $B = -\frac{1}{4}$

$\int \frac{1}{x^2-2x-3} dx = \frac{1}{4} \int (\frac{1}{x-3} - \frac{1}{x+1}) dx = \frac{1}{4} (\log|x-3| - \log|x+1|) + C = \frac{1}{4} \log|\frac{x-3}{x+1}| + C$

(8) $\frac{1}{x^4+1}$

$\int \frac{1}{x^4+1} dx = \frac{1}{2\sqrt{2}}\log\left(\frac{x^2+x\sqrt{2}+1}{x^2-x\sqrt{2}+1}\right) + \frac{1}{\sqrt{2}}\arctan\left(x\sqrt{2}+1\right) + \frac{1}{\sqrt{2}}\arctan\left(x\sqrt{2}-1\right) + C$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{40} (2x+1)^{10} - \frac{1}{36} (2x+1)^9 + C$

(2) $-\frac{1}{3} \cos(3x+1) + C$

(3) $\frac{(\log x)^3}{3} + C$

(4) $\log(1+e^x) + C$

(5) $\frac{x^2}{2} \log x - \frac{x^2}{4} + C$

(6) $\frac{x^2}{2} \arctan x - \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \arctan x + C$

(7) $\frac{1}{4} \log|\frac{x-3}{x+1}| + C$

(8) $\frac{1}{2\sqrt{2}}\log\left(\frac{x^2+x\sqrt{2}+1}{x^2-x\sqrt{2}+1}\right) + \frac{1}{\sqrt{2}}\arctan\left(x\sqrt{2}+1\right) + \frac{1}{\sqrt{2}}\arctan\left(x\sqrt{2}-1\right) + C$