実数 $a, b$ が変化するとき、定積分 $\int_{0}^{\pi} (x - a - b\cos x)^2 dx$ の最小値を求め、そのときの $a, b$ の値を求める。

1. 問題の内容

実数 $a, b$ が変化するとき、定積分 $\int_{0}^{\pi} (x - a - b\cos x)^2 dx$ の最小値を求め、そのときの $a, b$ の値を求める。

2. 解き方の手順

定積分を $I$ とおくと、

$I = \int_{0}^{\pi} (x - a - b\cos x)^2 dx$

$I$ が最小となる $a, b$ を求めるために、偏微分を利用する。

$\frac{\partial I}{\partial a} = \int_{0}^{\pi} 2(x - a - b\cos x)(-1) dx = -2 \int_{0}^{\pi} (x - a - b\cos x) dx$

$\frac{\partial I}{\partial b} = \int_{0}^{\pi} 2(x - a - b\cos x)(-\cos x) dx = -2 \int_{0}^{\pi} (x - a - b\cos x)\cos x dx$

$I$ が最小となるのは、$\frac{\partial I}{\partial a} = 0$ かつ $\frac{\partial I}{\partial b} = 0$ のときである。

よって、

$\int_{0}^{\pi} (x - a - b\cos x) dx = 0$ (1)

$\int_{0}^{\pi} (x - a - b\cos x)\cos x dx = 0$ (2)

(1)より、

$\int_{0}^{\pi} x dx - a \int_{0}^{\pi} dx - b \int_{0}^{\pi} \cos x dx = 0$

$\frac{\pi^2}{2} - a\pi - b [\sin x]_{0}^{\pi} = 0$

$\frac{\pi^2}{2} - a\pi = 0$

$a = \frac{\pi}{2}$

(2)より、

$\int_{0}^{\pi} x\cos x dx - a \int_{0}^{\pi} \cos x dx - b \int_{0}^{\pi} \cos^2 x dx = 0$

$\int_{0}^{\pi} x\cos x dx = [x\sin x]_{0}^{\pi} - \int_{0}^{\pi} \sin x dx = 0 - [-\cos x]_{0}^{\pi} = \cos \pi - \cos 0 = -1 - 1 = -2$

$\int_{0}^{\pi} \cos x dx = [\sin x]_{0}^{\pi} = 0$

$\int_{0}^{\pi} \cos^2 x dx = \int_{0}^{\pi} \frac{1 + \cos 2x}{2} dx = \frac{1}{2} [x + \frac{1}{2} \sin 2x]_{0}^{\pi} = \frac{1}{2} (\pi + 0 - 0 - 0) = \frac{\pi}{2}$

したがって、

$-2 - a(0) - b(\frac{\pi}{2}) = 0$

$-2 - b\frac{\pi}{2} = 0$

$b = -\frac{4}{\pi}$

したがって、$a = \frac{\pi}{2}$、 $b = -\frac{4}{\pi}$ のとき、$I$ は最小となる。

このとき、

$I = \int_{0}^{\pi} (x - \frac{\pi}{2} + \frac{4}{\pi} \cos x)^2 dx$

$I = \int_{0}^{\pi} (x - \frac{\pi}{2})^2 dx + \frac{8}{\pi} \int_{0}^{\pi} (x - \frac{\pi}{2}) \cos x dx + \frac{16}{\pi^2} \int_{0}^{\pi} \cos^2 x dx$

$\int_{0}^{\pi} (x - \frac{\pi}{2})^2 dx = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} u^2 du = 2 \int_{0}^{\pi/2} u^2 du = 2 [\frac{u^3}{3}]_{0}^{\pi/2} = \frac{2}{3} (\frac{\pi}{2})^3 = \frac{\pi^3}{12}$

$\int_{0}^{\pi} (x - \frac{\pi}{2}) \cos x dx = \int_{0}^{\pi} x \cos x dx - \frac{\pi}{2} \int_{0}^{\pi} \cos x dx = -2 - 0 = -2$

$\int_{0}^{\pi} \cos^2 x dx = \frac{\pi}{2}$

$I = \frac{\pi^3}{12} + \frac{8}{\pi}(-2) + \frac{16}{\pi^2} \frac{\pi}{2} = \frac{\pi^3}{12} - \frac{16}{\pi} + \frac{8}{\pi} = \frac{\pi^3}{12} - \frac{8}{\pi}$

3. 最終的な答え

最小値: $\frac{\pi^3}{12} - \frac{8}{\pi}$

$a = \frac{\pi}{2}$, $b = -\frac{4}{\pi}$