1. ロールの定理に関する問題 (1) 関数 $f(x) = x(x^2 - 1)$ と区間 $I = [0, 1]$ について、ロールの定理を満たす数 $c$ を求める。 (2) 関数 $f(x) = x\sqrt{1-x}$ と区間 $I = [0, 1]$ について、ロールの定理を満たす数 $c$ を求める。

1. 問題の内容

1. ロールの定理に関する問題

(1) 関数 $f(x) = x(x^2 - 1)$ と区間 $I = [0, 1]$ について、ロールの定理を満たす数 $c$ を求める。

(2) 関数 $f(x) = x\sqrt{1-x}$ と区間 $I = [0, 1]$ について、ロールの定理を満たす数 $c$ を求める。

2. 平均値の定理に関する問題

(1) 関数 $f(x) = x^3$ と区間 $I = [-1, 2]$ について、平均値の定理を満たす数 $c$ と、式 (13.3) を満たす $\theta$ を求める。

2. 解き方の手順

1. ロールの定理

(1) $f(x) = x(x^2 - 1) = x^3 - x$ より、$f'(x) = 3x^2 - 1$。$f'(c) = 0$ となる $c$ を求める。

$3c^2 - 1 = 0$ より、$c^2 = \frac{1}{3}$。よって、$c = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$。

区間 $(0, 1)$ に含まれるのは、$c = \frac{\sqrt{3}}{3}$。

(2) $f(x) = x\sqrt{1-x}$ より、$f'(x) = \sqrt{1-x} + x \cdot \frac{-1}{2\sqrt{1-x}} = \sqrt{1-x} - \frac{x}{2\sqrt{1-x}} = \frac{2(1-x) - x}{2\sqrt{1-x}} = \frac{2-3x}{2\sqrt{1-x}}$。

$f'(c) = 0$ となる $c$ を求める。$2 - 3c = 0$ より、$c = \frac{2}{3}$。

2. 平均値の定理

(1) $f(x) = x^3$、$f'(x) = 3x^2$、区間 $[-1, 2]$ において、平均値の定理 $\frac{f(b) - f(a)}{b - a} = f'(c)$ を満たす $c$ を求める。

$\frac{f(2) - f(-1)}{2 - (-1)} = \frac{2^3 - (-1)^3}{2 - (-1)} = \frac{8 - (-1)}{3} = \frac{9}{3} = 3$。

$f'(c) = 3c^2 = 3$ より、$c^2 = 1$。よって、$c = \pm 1$。区間 $(-1, 2)$ に含まれるのは、$c = 1$。

式 (13.3) から $\theta$ を求める。$c = a + \theta(b - a)$ より、$1 = -1 + \theta(2 - (-1)) = -1 + 3\theta$。

$3\theta = 2$ より、$\theta = \frac{2}{3}$。

3. 最終的な答え

1. ロールの定理

(1) $\frac{\sqrt{3}}{3}$

(2) $\frac{2}{3}$

2. 平均値の定理

(1) $c^2 = 1$

$c = 1$

$\theta = \frac{2}{3}$