以下の3つの極限値を求めます。 (1) $\lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x^2}$ (2) $\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 1}{xe^x}$ (3) $\lim_{x \to \infty} x(\arctan x - \frac{\pi}{2})$

1. 問題の内容

以下の3つの極限値を求めます。

(1) $\lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x^2}$

(2) $\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 1}{xe^x}$

(3) $\lim_{x \to \infty} x(\arctan x - \frac{\pi}{2})$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x^2}$

これは $\frac{\infty}{\infty}$ の不定形なので、ロピタルの定理を使います。

$\lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x^2} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{2x} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{2x^2} = 0$

(2) $\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 1}{xe^x}$

これも $\frac{\infty}{\infty}$ の不定形なので、ロピタルの定理を使います。

$\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 1}{xe^x} = \lim_{x \to \infty} \frac{2x}{e^x + xe^x} = \lim_{x \to \infty} \frac{2x}{(1+x)e^x}$

これも $\frac{\infty}{\infty}$ の不定形なので、再度ロピタルの定理を使います。

$\lim_{x \to \infty} \frac{2x}{(1+x)e^x} = \lim_{x \to \infty} \frac{2}{e^x + (1+x)e^x} = \lim_{x \to \infty} \frac{2}{(2+x)e^x} = 0$

(3) $\lim_{x \to \infty} x(\arctan x - \frac{\pi}{2})$

$t = \arctan x$ とすると、$x = \tan t$ であり、$x \to \infty$ のとき $t \to \frac{\pi}{2}$ となります。

$\lim_{x \to \infty} x(\arctan x - \frac{\pi}{2}) = \lim_{t \to \frac{\pi}{2}} \tan t (t - \frac{\pi}{2})$

$u = t - \frac{\pi}{2}$ とすると、$t = u + \frac{\pi}{2}$ であり、$t \to \frac{\pi}{2}$ のとき $u \to 0$ となります。

$\lim_{t \to \frac{\pi}{2}} \tan t (t - \frac{\pi}{2}) = \lim_{u \to 0} \tan(u + \frac{\pi}{2})u = \lim_{u \to 0} -\frac{\cos(u)}{\sin(u)} u = \lim_{u \to 0} -\frac{u}{\sin u} \cos u = -1 \cdot 1 = -1$

3. 最終的な答え

(1) 0

(2) 0

(3) -1