曲線 $y = x^3 - 3x$ を $C$ とする。$C$ 上の点 $(a, a^3 - 3a)$ における接線が点 $A(1, b)$ を通る時、$b$ を $a$ の式で表し、$f(a)$ を定義する。$f(a)$ が極大、極小となる $a$ の値を求め、点 $A$ を通る $C$ の接線の本数が $2$ 本となる時の $b$ の値を求める。

1. 問題の内容

曲線 $y = x^3 - 3x$ を $C$ とする。$C$ 上の点 $(a, a^3 - 3a)$ における接線が点 $A(1, b)$ を通る時、$b$ を $a$ の式で表し、$f(a)$ を定義する。$f(a)$ が極大、極小となる $a$ の値を求め、点 $A$ を通る $C$ の接線の本数が $2$ 本となる時の $b$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、曲線 $C$ 上の点 $(a, a^3 - 3a)$ における接線を求める。$y' = 3x^2 - 3$ より、接線の傾きは $3a^2 - 3$ である。したがって、接線の方程式は

$y - (a^3 - 3a) = (3a^2 - 3)(x - a)$

この接線が点 $A(1, b)$ を通るので、

$b - (a^3 - 3a) = (3a^2 - 3)(1 - a)$

$b = a^3 - 3a + 3a^2 - 3 - 3a^3 + 3a$

$b = -2a^3 + 3a^2 - 3$

次に、$f(a) = -2a^3 + 3a^2 - 3$ とする。$f'(a) = -6a^2 + 6a = -6a(a - 1)$

$f'(a) = 0$ となるのは $a = 0, 1$ の時である。

$f'(a)$ の符号を調べると、$a < 0$ で $f'(a) < 0$、$0 < a < 1$ で $f'(a) > 0$、$a > 1$ で $f'(a) < 0$ となる。

よって、$f(a)$ は $a = 0$ で極小、$a = 1$ で極大となる。

$f(0) = -3$、$f(1) = -2$

点 $A$ を通る $C$ の接線の本数が $2$ 本となるのは、$b = f(0) = -3$ または $b = f(1) = -2$ の時である。

3. 最終的な答え

$b = -2a^3 + 3a^2 - 3$

$f(a) = -2a^3 + 3a^2 - 3$

$a = 1$ で極大になる。

$a = 0$ で極小になる。

$b = -3$ または $b = -2$