関数 $f(x) = x^2 - 2x - 1$ が与えられたとき、以下の問題を解く： (1) $f([0,1])$, $f([-1,2])$, $f([0, \infty))$ を区間の記号で表す。 (2) $f$ の値域を区間の記号で表す。 (3) $f^{-1}([-1,1])$, $f^{-1}([-2,1])$, $f^{-1}([-2,0])$ を区間の記号で表す。 (4) $f^{-1}([-2, \infty))$ を区間の記号で表す。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^2 - 2x - 1$ が与えられたとき、以下の問題を解く：

(1) $f([0,1])$, $f([-1,2])$, $f([0, \infty))$ を区間の記号で表す。

(2) $f$ の値域を区間の記号で表す。

(3) $f^{-1}([-1,1])$, $f^{-1}([-2,1])$, $f^{-1}([-2,0])$ を区間の記号で表す。

(4) $f^{-1}([-2, \infty))$ を区間の記号で表す。

2. 解き方の手順

まず、$f(x) = x^2 - 2x - 1 = (x-1)^2 - 2$ と変形する。

この関数は $x=1$ で最小値 $-2$ をとる。

(1)

$f([0,1])$:

$f(0) = -1$, $f(1) = -2$。 $f(x)$ は区間 $[0,1]$ で減少するので、$f([0,1]) = [-2,-1]$.

$f([-1,2])$:

$f(-1) = (-1)^2 - 2(-1) - 1 = 1+2-1 = 2$, $f(2) = 2^2 - 2(2) - 1 = 4-4-1 = -1$. $f(1) = -2$ であるから、$f([-1,2]) = [-2,2]$.

$f([0, \infty))$:

$f(0) = -1$, $\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty$. また、$f(1) = -2$ であるから、$f([0,\infty)) = [-2, \infty)$.

(2)

$f(x) = (x-1)^2 - 2$ は $x=1$ で最小値 $-2$ をとる。また、$\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty$ かつ $\lim_{x \to -\infty} f(x) = \infty$ であるから、$f$ の値域は $[-2, \infty)$ である。

(3)

$f^{-1}([-1,1])$:

$f(x) = -1$ となる $x$ を求める: $x^2 - 2x - 1 = -1 \implies x^2 - 2x = 0 \implies x(x-2) = 0 \implies x = 0, 2$.

$f(x) = 1$ となる $x$ を求める: $x^2 - 2x - 1 = 1 \implies x^2 - 2x - 2 = 0 \implies x = \frac{2 \pm \sqrt{4+8}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}$.

よって、$f^{-1}([-1,1]) = [1-\sqrt{3}, 0] \cup [2, 1+\sqrt{3}]$.

$f^{-1}([-2,1])$:

$f(x) = -2$ となる $x$ を求める: $x^2 - 2x - 1 = -2 \implies x^2 - 2x + 1 = 0 \implies (x-1)^2 = 0 \implies x=1$.

したがって、 $f^{-1}([-2,1]) = [1-\sqrt{3}, 1+\sqrt{3}]$.

$f^{-1}([-2,0])$:

$f(x) = 0$ となる $x$ を求める: $x^2 - 2x - 1 = 0 \implies x = \frac{2 \pm \sqrt{4+4}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$.

$f(x) = -2$ となる $x$ は $x = 1$ であるから、$f^{-1}([-2,0]) = [1-\sqrt{2}, 1+\sqrt{2}]$.

(4)

$f^{-1}([-2, \infty))$:

$f(x)$ の値域は $[-2, \infty)$ なので、$f^{-1}([-2, \infty)) = \mathbb{R}$.

3. 最終的な答え

(1) $f([0,1]) = [-2,-1]$, $f([-1,2]) = [-2,2]$, $f([0, \infty)) = [-2, \infty)$

(2) $[-2, \infty)$

(3) $f^{-1}([-1,1]) = [1-\sqrt{3}, 0] \cup [2, 1+\sqrt{3}]$, $f^{-1}([-2,1]) = [1-\sqrt{3}, 1+\sqrt{3}]$, $f^{-1}([-2,0]) = [1-\sqrt{2}, 1+\sqrt{2}]$

(4) $\mathbb{R}$