与えられた12個の関数の不定積分を求める問題です。

はい、承知いたしました。画像の数学の問題を解きます。

1. 問題の内容

与えられた12個の関数の不定積分を求める問題です。

2. 解き方の手順

各関数の不定積分を計算します。

(1) $\int x(2x+1)^8 dx$

置換積分法を用います。$u = 2x+1$ とおくと、$x = \frac{u-1}{2}$、$dx = \frac{1}{2} du$ となります。

$\int \frac{u-1}{2} u^8 \frac{1}{2} du = \frac{1}{4} \int (u^9 - u^8) du = \frac{1}{4} (\frac{u^{10}}{10} - \frac{u^9}{9}) + C = \frac{1}{40} (2x+1)^{10} - \frac{1}{36} (2x+1)^9 + C$

(2) $\int \sin(3x+1) dx$

置換積分法を用います。$u = 3x+1$ とおくと、$dx = \frac{1}{3} du$ となります。

$\int \sin(u) \frac{1}{3} du = -\frac{1}{3} \cos(u) + C = -\frac{1}{3} \cos(3x+1) + C$

(3) $\int \frac{(\log x)^2}{x} dx$

置換積分法を用います。$u = \log x$ とおくと、$du = \frac{1}{x} dx$ となります。

$\int u^2 du = \frac{u^3}{3} + C = \frac{(\log x)^3}{3} + C$

(4) $\int \frac{e^x}{1+e^x} dx$

置換積分法を用います。$u = 1+e^x$ とおくと、$du = e^x dx$ となります。

$\int \frac{1}{u} du = \log|u| + C = \log(1+e^x) + C$

(5) $\int x \log x dx$

部分積分法を用います。$u = \log x$, $dv = x dx$ とおくと、$du = \frac{1}{x} dx$, $v = \frac{x^2}{2}$ となります。

$\int x \log x dx = \frac{x^2}{2} \log x - \int \frac{x^2}{2} \frac{1}{x} dx = \frac{x^2}{2} \log x - \frac{1}{2} \int x dx = \frac{x^2}{2} \log x - \frac{x^2}{4} + C$

(6) $\int x \arctan x dx$

部分積分法を用います。$u = \arctan x$, $dv = x dx$ とおくと、$du = \frac{1}{1+x^2} dx$, $v = \frac{x^2}{2}$ となります。

$\int x \arctan x dx = \frac{x^2}{2} \arctan x - \int \frac{x^2}{2(1+x^2)} dx = \frac{x^2}{2} \arctan x - \frac{1}{2} \int (1 - \frac{1}{1+x^2}) dx = \frac{x^2}{2} \arctan x - \frac{1}{2} (x - \arctan x) + C = \frac{x^2+1}{2} \arctan x - \frac{x}{2} + C$

(7) $\int \frac{1}{x^2 - 2x - 3} dx = \int \frac{1}{(x-3)(x+1)} dx$

部分分数分解します。$\frac{1}{(x-3)(x+1)} = \frac{A}{x-3} + \frac{B}{x+1}$ とおくと、$1 = A(x+1) + B(x-3)$ となります。

$x=3$ のとき $1 = 4A$ より $A = \frac{1}{4}$。

$x=-1$ のとき $1 = -4B$ より $B = -\frac{1}{4}$。

$\int \frac{1}{4} (\frac{1}{x-3} - \frac{1}{x+1}) dx = \frac{1}{4} (\log|x-3| - \log|x+1|) + C = \frac{1}{4} \log|\frac{x-3}{x+1}| + C$

(8) $\int \frac{1}{x^4+1} dx$

$\int \frac{1}{x^4+1} dx = \frac{1}{4\sqrt{2}} \log|\frac{x^2 + \sqrt{2}x + 1}{x^2 - \sqrt{2}x + 1}| + \frac{1}{2\sqrt{2}} (\arctan(x\sqrt{2} - 1) + \arctan(x\sqrt{2}+1)) + C$

(9) $\int \frac{1}{x^2-1} dx$

$\frac{1}{x^2-1} = \frac{1}{(x-1)(x+1)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+1}$ とおくと、$1 = A(x+1) + B(x-1)$。

$x=1$ のとき $1 = 2A$ より $A = \frac{1}{2}$。

$x=-1$ のとき $1 = -2B$ より $B = -\frac{1}{2}$。

$\int \frac{1}{2} (\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1}) dx = \frac{1}{2} (\log|x-1| - \log|x+1|) + C = \frac{1}{2} \log|\frac{x-1}{x+1}| + C$

(10) $\int \frac{1}{(x^2+1)(x^2+4)} dx$

部分分数分解します。$\frac{1}{(x^2+1)(x^2+4)} = \frac{A}{x^2+1} + \frac{B}{x^2+4}$ とおくと、$1 = A(x^2+4) + B(x^2+1)$ となります。

$x^2=-1$ のとき $1 = 3A$ より $A = \frac{1}{3}$。

$x^2=-4$ のとき $1 = -3B$ より $B = -\frac{1}{3}$。

$\int \frac{1}{3} (\frac{1}{x^2+1} - \frac{1}{x^2+4}) dx = \frac{1}{3} (\arctan x - \frac{1}{2} \arctan \frac{x}{2}) + C$

(11) $\int \frac{x+3}{x^2+x+4} dx = \int \frac{x+\frac{1}{2}+\frac{5}{2}}{x^2+x+4} dx = \frac{1}{2}\int \frac{2x+1}{x^2+x+4} dx + \frac{5}{2}\int \frac{1}{(x+\frac{1}{2})^2+\frac{15}{4}} dx = \frac{1}{2}\log(x^2+x+4) + \frac{5}{2} \frac{2}{\sqrt{15}} \arctan \frac{2x+1}{\sqrt{15}} + C = \frac{1}{2}\log(x^2+x+4) + \frac{5}{\sqrt{15}} \arctan \frac{2x+1}{\sqrt{15}} + C$

(12) $\int \frac{\sin x}{2 + \tan^2 x} dx$

$\tan x = t$ とおくと、$\frac{1}{\cos^2 x}dx = dt$。 また、 $\cos^2 x = \frac{1}{1+\tan^2 x} = \frac{1}{1+t^2}$. よって$\sin x dx = - \frac{1}{ \sqrt{1+t^2}}\frac{1}{1+t^2}dt$. ゆえにこれは積分できない。

$\int \frac{\sin x}{2 + \tan^2 x} dx = \int \frac{\sin x}{2 + \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}} dx = \int \frac{\sin x \cos^2 x}{2 \cos^2 x + \sin^2 x} dx = \int \frac{\sin x \cos^2 x}{2(1 - \sin^2 x) + \sin^2 x} dx = \int \frac{\sin x \cos^2 x}{2 - \sin^2 x} dx$。$u = \cos x$, $\sin x dx = -du$. $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x = 1-u^2$. つまり、$\int \frac{-u^2}{2-(1-u^2)} du = \int \frac{-u^2}{1+u^2} du = \int (\frac{-u^2-1}{1+u^2}+\frac{1}{1+u^2} ) du = -u + \arctan u + C= -\cos x + \arctan(\cos x) + C$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{40} (2x+1)^{10} - \frac{1}{36} (2x+1)^9 + C$

(2) $-\frac{1}{3} \cos(3x+1) + C$

(3) $\frac{(\log x)^3}{3} + C$

(4) $\log(1+e^x) + C$

(5) $\frac{x^2}{2} \log x - \frac{x^2}{4} + C$

(6) $\frac{x^2+1}{2} \arctan x - \frac{x}{2} + C$

(7) $\frac{1}{4} \log|\frac{x-3}{x+1}| + C$

(8) $\frac{1}{4\sqrt{2}} \log|\frac{x^2 + \sqrt{2}x + 1}{x^2 - \sqrt{2}x + 1}| + \frac{1}{2\sqrt{2}} (\arctan(x\sqrt{2} - 1) + \arctan(x\sqrt{2}+1)) + C$

(9) $\frac{1}{2} \log|\frac{x-1}{x+1}| + C$

(10) $\frac{1}{3} (\arctan x - \frac{1}{2} \arctan \frac{x}{2}) + C$

(11) $\frac{1}{2}\log(x^2+x+4) + \frac{5}{\sqrt{15}} \arctan \frac{2x+1}{\sqrt{15}} + C$

(12) $-\cos x + \arctan(\cos x) + C$