半球 $S = \{(x, y, z) \mid x^2 + y^2 + z^2 \le a^2, z \ge 0\}$ の内部で、円柱 $x^2 + y^2 \le b^2$ で切り取られる部分の立体の体積 $V$ を求めます。ただし、$a > b > 0$ です。すでに問題文中に体積の求め方の方針と途中式が与えられており、空欄を埋める形式になっています。

1. 問題の内容

半球 $S = \{(x, y, z) \mid x^2 + y^2 + z^2 \le a^2, z \ge 0\}$ の内部で、円柱 $x^2 + y^2 \le b^2$ で切り取られる部分の立体の体積 $V$ を求めます。ただし、$a > b > 0$ です。すでに問題文中に体積の求め方の方針と途中式が与えられており、空欄を埋める形式になっています。

2. 解き方の手順

(1) まず、$D = \{(x, y) \mid x^2 + y^2 \le b^2\}$ とおきます。このとき、求める体積 $V$ は

$V = \iiint_C dx\,dy\,dz = \iint_D \sqrt{a^2 - x^2 - y^2} dx\,dy$

で表されます。ここで、$z = \sqrt{a^2 - x^2 - y^2}$ を積分の上限としたからです。

(2) 次に、$x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ とおくと、$D$ は $D' = \{(r, \theta) \mid 0 \le r \le b, 0 \le \theta \le 2\pi\}$ にうつります。

このとき、$dx\,dy = r\,dr\,d\theta$ であるため、(オ)には$r$が入ります。

(3) したがって、体積 $V$ は

$V = \int_0^{2\pi} \left( \int_0^b \sqrt{a^2 - r^2} \cdot r dr \right) d\theta$

と表されます。

(4) 積分 $\int_0^b \sqrt{a^2 - r^2} \cdot r dr$ を計算します。$t = a^2 - r^2$ とおくと、$dt = -2r\,dr$ より、$r\,dr = -\frac{1}{2} dt$ となります。

積分範囲は、$r: 0 \to b$ に対して $t: a^2 \to a^2 - b^2$ となります。

したがって、

$\int_0^b \sqrt{a^2 - r^2} \cdot r dr = \int_{a^2}^{a^2 - b^2} \sqrt{t} \cdot \left( -\frac{1}{2} dt \right) = -\frac{1}{2} \int_{a^2}^{a^2 - b^2} t^{1/2} dt = -\frac{1}{2} \left[ \frac{2}{3} t^{3/2} \right]_{a^2}^{a^2 - b^2} = -\frac{1}{3} \left[ t^{3/2} \right]_{a^2}^{a^2 - b^2} = -\frac{1}{3} \left( (a^2 - b^2)^{3/2} - (a^2)^{3/2} \right) = \frac{1}{3} (a^3 - (a^2 - b^2)^{3/2})$

(5) 最後に、積分 $V = \int_0^{2\pi} \frac{1}{3} (a^3 - (a^2 - b^2)^{3/2}) d\theta$ を計算します。

$V = \frac{1}{3} (a^3 - (a^2 - b^2)^{3/2}) \int_0^{2\pi} d\theta = \frac{1}{3} (a^3 - (a^2 - b^2)^{3/2}) \cdot 2\pi = \frac{2\pi}{3} (a^3 - (a^2 - b^2)^{3/2})$

問題文にある式と比較すると、（力）に入るのは$2$です。

3. 最終的な答え

(オ) $r$

(カ) $2$

$V = \frac{2\pi}{3}(a^3 - (a^2-b^2)^{3/2})$