与えられた微分方程式を解き、初期条件を満たす特殊解を求めます。 問1：$\frac{dy}{dx} = (2x - 1)y$。初期条件は $x=0$ のとき $y=2$。 問2：$(x-1)y' - y = 1$。

以下に問題の解答を示します。

1. 問題の内容

与えられた微分方程式を解き、初期条件を満たす特殊解を求めます。

問1：$\frac{dy}{dx} = (2x - 1)y$。初期条件は $x=0$ のとき $y=2$。

問2：$(x-1)y' - y = 1$。

2. 解き方の手順

問1：

この微分方程式は変数分離形なので、以下のように解きます。

1. 変数を分離します。

$\frac{dy}{y} = (2x - 1)dx$

2. 両辺を積分します。

$\int \frac{dy}{y} = \int (2x - 1)dx$

$\ln|y| = x^2 - x + C$

3. $y$ について解きます。

$|y| = e^{x^2 - x + C} = e^C e^{x^2 - x}$

$y = Ae^{x^2 - x}$ (ここで $A = \pm e^C$ は任意定数)

4. 初期条件 $x=0$ のとき $y=2$ を代入して $A$ を求めます。

$2 = Ae^{0^2 - 0} = A$

したがって、$A = 2$。

問2：

1. 微分方程式を整理します。

$y' - \frac{1}{x-1}y = \frac{1}{x-1}$

これは1階線形微分方程式です。

2. 積分因子を求めます。

積分因子 $\mu(x) = e^{\int -\frac{1}{x-1} dx} = e^{-\ln|x-1|} = e^{\ln|x-1|^{-1}} = \frac{1}{|x-1|}$

ここでは簡単のため $\mu(x) = \frac{1}{x-1}$ ($x>1$とする) とします。

3. 微分方程式の両辺に積分因子をかけます。

$\frac{1}{x-1}y' - \frac{1}{(x-1)^2}y = \frac{1}{(x-1)^2}$

$\frac{d}{dx}(\frac{1}{x-1}y) = \frac{1}{(x-1)^2}$

4. 両辺を積分します。

$\int \frac{d}{dx}(\frac{1}{x-1}y) dx = \int \frac{1}{(x-1)^2} dx$

$\frac{y}{x-1} = -\frac{1}{x-1} + C$

5. $y$ について解きます。

$y = -1 + C(x-1)$

$y = C(x-1) - 1$

3. 最終的な答え

問1：

$y = 2e^{x^2 - x}$

問2：

$y = C(x-1) - 1$ (Cは任意定数)