与えられた関数の不定積分を計算します。 (1) $x(2x+1)^8$ (2) $\sin(3x+1)$ (3) $\frac{(\log x)^2}{x}$ (4) $\frac{e^x}{1+e^x}$ (5) $x \log x$

わかりました。問題1のいくつかの関数について、不定積分を求めます。ここでは、問題1の(1), (2), (3), (4), (5)についてのみ解いてみます。

1. 問題の内容

与えられた関数の不定積分を計算します。

(1) $x(2x+1)^8$

(2) $\sin(3x+1)$

(3) $\frac{(\log x)^2}{x}$

(4) $\frac{e^x}{1+e^x}$

(5) $x \log x$

2. 解き方の手順

(1) $x(2x+1)^8$

置換積分を行います。$u = 2x + 1$とすると、$du = 2dx$となり、$x = \frac{u-1}{2}$となります。

したがって、

$\int x(2x+1)^8 dx = \int \frac{u-1}{2} u^8 \frac{1}{2}du = \frac{1}{4}\int (u^9 - u^8) du = \frac{1}{4} (\frac{u^{10}}{10} - \frac{u^9}{9}) + C = \frac{1}{4} (\frac{(2x+1)^{10}}{10} - \frac{(2x+1)^9}{9}) + C = \frac{(2x+1)^{10}}{40} - \frac{(2x+1)^9}{36} + C$

(2) $\sin(3x+1)$

置換積分を行います。$u = 3x + 1$とすると、$du = 3dx$となります。

したがって、

$\int \sin(3x+1) dx = \int \sin(u) \frac{1}{3}du = -\frac{1}{3} \cos(u) + C = -\frac{1}{3} \cos(3x+1) + C$

(3) $\frac{(\log x)^2}{x}$

置換積分を行います。$u = \log x$とすると、$du = \frac{1}{x}dx$となります。

したがって、

$\int \frac{(\log x)^2}{x} dx = \int u^2 du = \frac{u^3}{3} + C = \frac{(\log x)^3}{3} + C$

(4) $\frac{e^x}{1+e^x}$

置換積分を行います。$u = 1+e^x$とすると、$du = e^x dx$となります。

したがって、

$\int \frac{e^x}{1+e^x} dx = \int \frac{1}{u} du = \log |u| + C = \log (1+e^x) + C$

(5) $x \log x$

部分積分を行います。$\int u dv = uv - \int v du$において、$u = \log x$, $dv = x dx$とすると、$du = \frac{1}{x} dx$, $v = \frac{x^2}{2}$となります。

したがって、

$\int x \log x dx = \frac{x^2}{2} \log x - \int \frac{x^2}{2} \frac{1}{x} dx = \frac{x^2}{2} \log x - \int \frac{x}{2} dx = \frac{x^2}{2} \log x - \frac{x^2}{4} + C$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{(2x+1)^{10}}{40} - \frac{(2x+1)^9}{36} + C$

(2) $-\frac{1}{3} \cos(3x+1) + C$

(3) $\frac{(\log x)^3}{3} + C$

(4) $\log (1+e^x) + C$

(5) $\frac{x^2}{2} \log x - \frac{x^2}{4} + C$