与えられた2つの極限値を求める問題です。 (1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin{ax}}{\sin{bx}}$, ($b \ne 0$) (2) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin{x^2}}{x}$

1. 問題の内容

与えられた2つの極限値を求める問題です。

(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin{ax}}{\sin{bx}}$, ($b \ne 0$)

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin{x^2}}{x}$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin{ax}}{\sin{bx}}$ を求める。

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin{ax}}{\sin{bx}} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin{ax}}{ax} \cdot \frac{ax}{\sin{bx}} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin{ax}}{ax} \cdot \frac{bx}{\sin{bx}} \cdot \frac{ax}{bx}$

ここで、$\lim_{x \to 0} \frac{\sin{ax}}{ax} = 1$ および $\lim_{x \to 0} \frac{\sin{bx}}{bx} = 1$ であることを利用すると、

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin{ax}}{\sin{bx}} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin{ax}}{ax} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{bx}{\sin{bx}} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{ax}{bx} = 1 \cdot 1 \cdot \frac{a}{b} = \frac{a}{b}$

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin{x^2}}{x}$ を求める。

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin{x^2}}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin{x^2}}{x^2} \cdot \frac{x^2}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin{x^2}}{x^2} \cdot x$

ここで、$\lim_{x \to 0} \frac{\sin{x^2}}{x^2} = 1$ であることを利用すると、

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin{x^2}}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin{x^2}}{x^2} \cdot \lim_{x \to 0} x = 1 \cdot 0 = 0$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{a}{b}$

(2) $0$