曲線 $\mathbf{r} = (e^t, e^{-t}, \sqrt{2}t)$ 上の点 $P(t)$ について、以下の問題を解きます。 (1) 単位接線ベクトルを求めよ。 (2) 点 $P(0)$ から点 $P(1)$ までの曲線の長さを求めよ。
2025/7/22
1. 問題の内容
曲線 上の点 について、以下の問題を解きます。
(1) 単位接線ベクトルを求めよ。
(2) 点 から点 までの曲線の長さを求めよ。
2. 解き方の手順
(1) 単位接線ベクトルを求める手順:
1. まず、接線ベクトル $\mathbf{r}'(t)$ を計算します。
2. 次に、接線ベクトルの大きさ $|\mathbf{r}'(t)|$ を計算します。
3. 最後に、単位接線ベクトル $\mathbf{T}(t) = \frac{\mathbf{r}'(t)}{|\mathbf{r}'(t)|}$ を計算します。
(2) 曲線の長さを求める手順:
1. 曲線の長さ $L$ は、積分 $L = \int_{a}^{b} |\mathbf{r}'(t)| dt$ で求められます。
2. 今回は、$P(0)$ から $P(1)$ までの長さを求めるので、積分範囲は $0$ から $1$ です。
3. $L = \int_{0}^{1} |\mathbf{r}'(t)| dt$ を計算します。
それでは、計算を実行します。
(1) 単位接線ベクトルの計算:
なので、
したがって、単位接線ベクトルは
(2) 曲線の長さの計算:
3. 最終的な答え
(1) 単位接線ベクトル:
(2) 曲線の長さ: