曲線 $\mathbf{r} = (e^t, e^{-t}, \sqrt{2}t)$ 上の点 $P(t)$ について、以下の問題を解きます。 (1) 単位接線ベクトルを求めよ。 (2) 点 $P(0)$ から点 $P(1)$ までの曲線の長さを求めよ。

解析学ベクトル曲線接線ベクトル曲線の長さ積分
2025/7/22

1. 問題の内容

曲線 r=(et,et,2t)\mathbf{r} = (e^t, e^{-t}, \sqrt{2}t) 上の点 P(t)P(t) について、以下の問題を解きます。
(1) 単位接線ベクトルを求めよ。
(2) 点 P(0)P(0) から点 P(1)P(1) までの曲線の長さを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 単位接線ベクトルを求める手順:

1. まず、接線ベクトル $\mathbf{r}'(t)$ を計算します。

2. 次に、接線ベクトルの大きさ $|\mathbf{r}'(t)|$ を計算します。

3. 最後に、単位接線ベクトル $\mathbf{T}(t) = \frac{\mathbf{r}'(t)}{|\mathbf{r}'(t)|}$ を計算します。

(2) 曲線の長さを求める手順:

1. 曲線の長さ $L$ は、積分 $L = \int_{a}^{b} |\mathbf{r}'(t)| dt$ で求められます。

2. 今回は、$P(0)$ から $P(1)$ までの長さを求めるので、積分範囲は $0$ から $1$ です。

3. $L = \int_{0}^{1} |\mathbf{r}'(t)| dt$ を計算します。

それでは、計算を実行します。
(1) 単位接線ベクトルの計算:
r(t)=(et,et,2t)\mathbf{r}(t) = (e^t, e^{-t}, \sqrt{2}t) なので、
r(t)=(et,et,2)\mathbf{r}'(t) = (e^t, -e^{-t}, \sqrt{2})
r(t)=(et)2+(et)2+(2)2=e2t+e2t+2=(et+et)2=et+et|\mathbf{r}'(t)| = \sqrt{(e^t)^2 + (-e^{-t})^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{e^{2t} + e^{-2t} + 2} = \sqrt{(e^t + e^{-t})^2} = e^t + e^{-t}
したがって、単位接線ベクトルは
T(t)=r(t)r(t)=(et,et,2)et+et=(etet+et,etet+et,2et+et)\mathbf{T}(t) = \frac{\mathbf{r}'(t)}{|\mathbf{r}'(t)|} = \frac{(e^t, -e^{-t}, \sqrt{2})}{e^t + e^{-t}} = \left( \frac{e^t}{e^t + e^{-t}}, \frac{-e^{-t}}{e^t + e^{-t}}, \frac{\sqrt{2}}{e^t + e^{-t}} \right)
(2) 曲線の長さの計算:
L=01r(t)dt=01(et+et)dt=[etet]01=(e1e1)(e0e0)=ee1(11)=e1eL = \int_{0}^{1} |\mathbf{r}'(t)| dt = \int_{0}^{1} (e^t + e^{-t}) dt = [e^t - e^{-t}]_{0}^{1} = (e^1 - e^{-1}) - (e^0 - e^{-0}) = e - e^{-1} - (1 - 1) = e - \frac{1}{e}

3. 最終的な答え

(1) 単位接線ベクトル:T(t)=(etet+et,etet+et,2et+et)\mathbf{T}(t) = \left( \frac{e^t}{e^t + e^{-t}}, \frac{-e^{-t}}{e^t + e^{-t}}, \frac{\sqrt{2}}{e^t + e^{-t}} \right)
(2) 曲線の長さ:e1ee - \frac{1}{e}

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