定積分 $\int_{b}^{0} (x - \frac{1}{3})^2 dx$ を計算する問題です。

解析学定積分積分多項式

2025/7/23

1. 問題の内容

定積分

\int_{b}^{0} (x - \frac{1}{3})^2 dx

を計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、積分の中身を展開します。

(x - \frac{1}{3})^2 = x^2 - \frac{2}{3}x + \frac{1}{9}

次に、展開した式を積分します。

\int (x^2 - \frac{2}{3}x + \frac{1}{9}) dx = \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{3}x^2 + \frac{1}{9}x + C

ここで、

C

は積分定数です。

次に、積分範囲

[b, 0]

で定積分を計算します。

\int_{b}^{0} (x - \frac{1}{3})^2 dx = \left[\frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{3}x^2 + \frac{1}{9}x\right]_{b}^{0}

= \left(\frac{1}{3}(0)^3 - \frac{1}{3}(0)^2 + \frac{1}{9}(0)\right) - \left(\frac{1}{3}b^3 - \frac{1}{3}b^2 + \frac{1}{9}b\right)

= 0 - (\frac{1}{3}b^3 - \frac{1}{3}b^2 + \frac{1}{9}b)

= -\frac{1}{3}b^3 + \frac{1}{3}b^2 - \frac{1}{9}b

3. 最終的な答え

-\frac{1}{3}b^3 + \frac{1}{3}b^2 - \frac{1}{9}b

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