次の2つの関数の増減、極値、不連続となる $x$ の値を調べ、グラフの概形を描く問題です。 (1) $y = 3x^4 + 4x^3 - 12x^2 + 5$ (2) $y = \frac{2x^2 - x - 1}{x + 1}$

1. 問題の内容

次の2つの関数の増減、極値、不連続となる $x$ の値を調べ、グラフの概形を描く問題です。

(1) $y = 3x^4 + 4x^3 - 12x^2 + 5$

(2) $y = \frac{2x^2 - x - 1}{x + 1}$

2. 解き方の手順

(1) $y = 3x^4 + 4x^3 - 12x^2 + 5$ について

(i) 微分して導関数を求める。

$y' = 12x^3 + 12x^2 - 24x$

(ii) 導関数が0となる $x$ を求める。

$12x^3 + 12x^2 - 24x = 0$

$12x(x^2 + x - 2) = 0$

$12x(x + 2)(x - 1) = 0$

$x = -2, 0, 1$

(iii) 増減表を作成する。

| x | ... | -2 | ... | 0 | ... | 1 | ... |

|------|-------|-------|-------|------|-------|------|-------|

| y' | - | 0 | + | 0 | - | 0 | + |

| y | 減少 | 極小 | 増加 | 極大 | 減少 | 極小 | 増加 |

(iv) 極値を求める。

$x = -2$ のとき、 $y = 3(-2)^4 + 4(-2)^3 - 12(-2)^2 + 5 = 48 - 32 - 48 + 5 = -27$

$x = 0$ のとき、 $y = 3(0)^4 + 4(0)^3 - 12(0)^2 + 5 = 5$

$x = 1$ のとき、 $y = 3(1)^4 + 4(1)^3 - 12(1)^2 + 5 = 3 + 4 - 12 + 5 = 0$

(v) グラフの概形を描く。

極小値 $(-2, -27)$, $(1, 0)$、極大値 $(0, 5)$ をもつ4次関数。

(2) $y = \frac{2x^2 - x - 1}{x + 1}$ について

(i) 関数を整理する。

$y = \frac{(2x + 1)(x - 1)}{x + 1}$

$x \neq -1$ であることに注意する。

$x = -1$ のとき、定義されない。

(ii) 微分して導関数を求める。

$y' = \frac{(4x - 1)(x + 1) - (2x^2 - x - 1)(1)}{(x + 1)^2}$

$y' = \frac{4x^2 + 4x - x - 1 - 2x^2 + x + 1}{(x + 1)^2}$

$y' = \frac{2x^2 + 4x}{(x + 1)^2} = \frac{2x(x + 2)}{(x + 1)^2}$

(iii) 導関数が0となる $x$ を求める。

$\frac{2x(x + 2)}{(x + 1)^2} = 0$

$x = 0, -2$

(iv) 増減表を作成する。

| x | ... | -2 | ... | -1 | ... | 0 | ... |

|------|-------|-------|-------|-------|-------|------|-------|

| y' | + | 0 | - | - | - | 0 | + |

| y | 増加 | 極大 | 減少 | 不連続 | 減少 | 極小 | 増加 |

(v) 極値を求める。

$x = -2$ のとき、 $y = \frac{2(-2)^2 - (-2) - 1}{-2 + 1} = \frac{8 + 2 - 1}{-1} = -9$

$x = 0$ のとき、 $y = \frac{2(0)^2 - 0 - 1}{0 + 1} = -1$

(vi) グラフの概形を描く。

$x = -1$ で不連続、極大値 $(-2, -9)$, 極小値 $(0, -1)$ をもつ。

3. 最終的な答え

(1) $y = 3x^4 + 4x^3 - 12x^2 + 5$

増減表:

| x | ... | -2 | ... | 0 | ... | 1 | ... |

|------|-------|-------|-------|------|-------|------|-------|

| y' | - | 0 | + | 0 | - | 0 | + |

| y | 減少 | 極小 | 増加 | 極大 | 減少 | 極小 | 増加 |

極小値: $(-2, -27)$, $(1, 0)$

極大値: $(0, 5)$

不連続点: なし

(2) $y = \frac{2x^2 - x - 1}{x + 1}$

増減表:

| x | ... | -2 | ... | -1 | ... | 0 | ... |

|------|-------|-------|-------|-------|-------|------|-------|

| y' | + | 0 | - | - | - | 0 | + |

| y | 増加 | 極大 | 減少 | 不連続 | 減少 | 極小 | 増加 |

極大値: $(-2, -9)$

極小値: $(0, -1)$

不連続点: $x = -1$