与えられた式 $\frac{1}{2}(x\sqrt{1-x^2} + \arcsin x)$ の導関数を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $\frac{1}{2}(x\sqrt{1-x^2} + \arcsin x)$ の導関数を求める問題です。

2. 解き方の手順

与えられた関数を $f(x) = \frac{1}{2}(x\sqrt{1-x^2} + \arcsin x)$ とします。

微分を計算するために、積の微分法、合成関数の微分法、$\arcsin x$ の微分公式を使用します。

まず、$x\sqrt{1-x^2}$ を微分します。積の微分法を用いると、

$$\frac{d}{dx}(x\sqrt{1-x^2}) = \frac{d}{dx}(x) \cdot \sqrt{1-x^2} + x \cdot \frac{d}{dx}(\sqrt{1-x^2})$$

$$\frac{d}{dx}(x) = 1$$

$$\frac{d}{dx}(\sqrt{1-x^2}) = \frac{1}{2\sqrt{1-x^2}} \cdot (-2x) = \frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}$$

したがって、

$$\frac{d}{dx}(x\sqrt{1-x^2}) = \sqrt{1-x^2} + x \cdot \frac{-x}{\sqrt{1-x^2}} = \sqrt{1-x^2} - \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{1-x^2-x^2}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{1-2x^2}{\sqrt{1-x^2}}$$

次に、$\arcsin x$ の微分は $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ です。

$$\frac{d}{dx}(\arcsin x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$

したがって、$f(x)$ の導関数は、

$$f'(x) = \frac{1}{2} \left( \frac{1-2x^2}{\sqrt{1-x^2}} + \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{1-2x^2+1}{\sqrt{1-x^2}} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{2-2x^2}{\sqrt{1-x^2}} \right) = \frac{1-x^2}{\sqrt{1-x^2}} = \sqrt{1-x^2}$$

3. 最終的な答え

$\sqrt{1-x^2}$