次の3つの不定積分を求める問題です。 (1) $\int \log(3x) \, dx$ (2) $\int x \log(x) \, dx$ (3) $\int \log(x+1) \, dx$

1. 問題の内容

次の3つの不定積分を求める問題です。

(1) $\int \log(3x) \, dx$

(2) $\int x \log(x) \, dx$

(3) $\int \log(x+1) \, dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int \log(3x) \, dx$

対数の性質 $\log(ab) = \log a + \log b$ を用いると、$\log(3x) = \log 3 + \log x$ となります。

したがって、

$\int \log(3x) \, dx = \int (\log 3 + \log x) \, dx = \int \log 3 \, dx + \int \log x \, dx$

$\int \log 3 \, dx = (\log 3) \int 1 \, dx = x \log 3 + C_1$ （$C_1$は積分定数）

$\int \log x \, dx$ は部分積分で計算します。$u = \log x$, $dv = dx$ とおくと、$du = \frac{1}{x} dx$, $v = x$ となります。

$\int \log x \, dx = x \log x - \int x \cdot \frac{1}{x} \, dx = x \log x - \int 1 \, dx = x \log x - x + C_2$ （$C_2$は積分定数）

よって、$\int \log(3x) \, dx = x \log 3 + x \log x - x + C$ （$C = C_1 + C_2$ は積分定数）

ここで、$\log 3 + \log x = \log(3x)$ なので、

$\int \log(3x) \, dx = x \log(3x) - x + C$

(2) $\int x \log(x) \, dx$

部分積分で計算します。$u = \log x$, $dv = x dx$ とおくと、$du = \frac{1}{x} dx$, $v = \frac{x^2}{2}$ となります。

$\int x \log x \, dx = \frac{x^2}{2} \log x - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} \, dx = \frac{x^2}{2} \log x - \int \frac{x}{2} \, dx = \frac{x^2}{2} \log x - \frac{x^2}{4} + C$ （$C$は積分定数）

(3) $\int \log(x+1) \, dx$

部分積分で計算します。$u = \log(x+1)$, $dv = dx$ とおくと、$du = \frac{1}{x+1} dx$, $v = x$ となります。

$\int \log(x+1) \, dx = x \log(x+1) - \int \frac{x}{x+1} \, dx = x \log(x+1) - \int \frac{x+1-1}{x+1} \, dx = x \log(x+1) - \int (1 - \frac{1}{x+1}) \, dx$

$= x \log(x+1) - \int 1 \, dx + \int \frac{1}{x+1} \, dx = x \log(x+1) - x + \log |x+1| + C$（$C$は積分定数）

$\int \log(x+1) \, dx = (x+1) \log(x+1) - x + C$

3. 最終的な答え

(1) $\int \log(3x) \, dx = x \log(3x) - x + C$

(2) $\int x \log(x) \, dx = \frac{x^2}{2} \log x - \frac{x^2}{4} + C$

(3) $\int \log(x+1) \, dx = (x+1) \log(x+1) - x + C$