$$r \sin(\varphi + \theta) = r (\sin \varphi \cos \theta + \cos \varphi \sin \theta)$$

解析学三角関数媒介変数表示微分接線
2025/7/22
## 問題5の内容
x=rcosφx = r \cos \varphi, y=rsinφy = r \sin \varphiとするとき、rsin(φ+θ)r \sin(\varphi + \theta)xx, yy, cosθ\cos \theta, sinθ\sin \thetaを用いて表す。
## 解き方の手順

1. 三角関数の加法定理を用いる。

rsin(φ+θ)=r(sinφcosθ+cosφsinθ)r \sin(\varphi + \theta) = r (\sin \varphi \cos \theta + \cos \varphi \sin \theta)

2. $x = r \cos \varphi$, $y = r \sin \varphi$ を代入する。

rsin(φ+θ)=ycosθ+xsinθr \sin(\varphi + \theta) = y \cos \theta + x \sin \theta
## 最終的な答え
rsin(φ+θ)=xsinθ+ycosθr \sin(\varphi + \theta) = x \sin \theta + y \cos \theta
## 問題6の内容
媒介変数表示された曲線 x=tx = t, y=1etTy = 1 - e^{-\frac{t}{T}} (ただし、T>0T > 0) について、t=0t = 0 に対応する点における接線の方程式を求める。
## 解き方の手順

1. $t=0$ のときの $x, y$ の値を求める。

x=0x = 0, y=1e0=11=0y = 1 - e^0 = 1 - 1 = 0
よって、接点の座標は (0,0)(0, 0)

2. $\frac{dy}{dx}$ を求める。

dxdt=1\frac{dx}{dt} = 1
dydt=1TetT\frac{dy}{dt} = \frac{1}{T} e^{-\frac{t}{T}}
dydx=dy/dtdx/dt=1TetT\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{1}{T} e^{-\frac{t}{T}}

3. $t=0$ のときの $\frac{dy}{dx}$ の値を求める。

dydxt=0=1Te0=1T\frac{dy}{dx}|_{t=0} = \frac{1}{T} e^0 = \frac{1}{T}
これが接線の傾き。

4. 接線の方程式を求める。

接点の座標 (0,0)(0, 0) と傾き 1T\frac{1}{T} を用いて、
y0=1T(x0)y - 0 = \frac{1}{T} (x - 0)
y=1Txy = \frac{1}{T} x
## 最終的な答え
y=xTy = \frac{x}{T}

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