3次関数 $y = x^3 + x^2 - 2x$ を持つ曲線Cについて以下の問いに答える問題です。 (1) 曲線Cとx軸との交点の座標を求めます。 (2) (1)で求めた交点のうち、$x$座標が最大となる点におけるCの接線$l$の方程式を求め、接線$l$と曲線Cの接点以外の共有点の$x$座標を求めます。 (3) 曲線Cと接線$l$で囲まれた図形の面積を求めます。

1. 問題の内容

3次関数 $y = x^3 + x^2 - 2x$ を持つ曲線Cについて以下の問いに答える問題です。

(1) 曲線Cとx軸との交点の座標を求めます。

(2) (1)で求めた交点のうち、$x$座標が最大となる点におけるCの接線$l$の方程式を求め、接線$l$と曲線Cの接点以外の共有点の$x$座標を求めます。

(3) 曲線Cと接線$l$で囲まれた図形の面積を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 曲線Cとx軸の交点を求めるには、$y = 0$とおいて、$x$の値を求めます。

$x^3 + x^2 - 2x = 0$

$x(x^2 + x - 2) = 0$

$x(x + 2)(x - 1) = 0$

したがって、$x = -2, 0, 1$。

x軸との交点の座標は $(-2, 0), (0, 0), (1, 0)$。

$ウ < エ$ より、ウは0、エは1。

(2) (1)で求めた交点のうち、$x$座標が最大となる点は$(1, 0)$。

$f(x) = x^3 + x^2 - 2x$とおくと、$f'(x) = 3x^2 + 2x - 2$。

点$(1, 0)$における接線の傾きは、$f'(1) = 3(1)^2 + 2(1) - 2 = 3 + 2 - 2 = 3$。

したがって、接線$l$の方程式は、$y - 0 = 3(x - 1)$より、$y = 3x - 3$。

接線$l$と曲線Cの交点を求めるには、$x^3 + x^2 - 2x = 3x - 3$を解きます。

$x^3 + x^2 - 5x + 3 = 0$

接点$x = 1$は重解なので、$(x - 1)^2$で割り切れるはずです。

$(x - 1)^2(x + 3) = 0$

したがって、$x = 1, -3$。

接点以外の共有点の$x$座標は$x = -3$。

(3) 曲線Cと接線$l$で囲まれた図形の面積を求めるには、積分計算を行います。

$-3 \le x \le 1$において、$l$がCより上にあるので、

面積$S$は、$S = \int_{-3}^1 (3x - 3 - (x^3 + x^2 - 2x)) dx = \int_{-3}^1 (-x^3 - x^2 + 5x - 3) dx$。

$S = [-\frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{3}x^3 + \frac{5}{2}x^2 - 3x]_{-3}^1$

$S = (-\frac{1}{4} - \frac{1}{3} + \frac{5}{2} - 3) - (-\frac{81}{4} + 9 + \frac{45}{2} + 9)$

$S = -\frac{1}{4} - \frac{1}{3} + \frac{5}{2} - 3 + \frac{81}{4} - 9 - \frac{45}{2} - 9 = \frac{80}{4} - \frac{1}{3} - \frac{40}{2} - 21$

$S = 20 - \frac{1}{3} - 20 - 21 = -\frac{1}{3} - 21 = -\frac{64}{3}$

面積なので絶対値を取って、$S = \frac{32}{3}$。

3. 最終的な答え

(1) アイ：-2, ウ：0, エ：1

(2) オ：3, カ：3, キク：-3

(3) ケコ/サ：32/3