与えられた4つの定積分を計算する問題です。 (1) $\int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx$ (2) $\int_{-1}^{2} \frac{1}{(x-1)^3} dx$ (3) $\int_{0}^{2} \frac{1}{\sqrt[3]{(2-x)^2}} dx$ (4) $\int_{0}^{\infty} xe^{-x^2} dx$

1. 問題の内容

与えられた4つの定積分を計算する問題です。

(1) $\int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx$

(2) $\int_{-1}^{2} \frac{1}{(x-1)^3} dx$

(3) $\int_{0}^{2} \frac{1}{\sqrt[3]{(2-x)^2}} dx$

(4) $\int_{0}^{\infty} xe^{-x^2} dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx$

$u = 1 - x^2$とおくと、$du = -2x dx$。よって、$x dx = -\frac{1}{2} du$。

積分範囲は、$x=0$のとき$u=1$、$x=1$のとき$u=0$となる。

したがって、

$\int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx = \int_{1}^{0} \frac{-\frac{1}{2}}{\sqrt{u}} du = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} u^{-\frac{1}{2}} du = \frac{1}{2} [2u^{\frac{1}{2}}]_{0}^{1} = \frac{1}{2} (2-0) = 1$

(2) $\int_{-1}^{2} \frac{1}{(x-1)^3} dx$

この積分は、$x=1$で被積分関数が発散するため、特異積分である。

$\int_{-1}^{2} \frac{1}{(x-1)^3} dx = \int_{-1}^{1} \frac{1}{(x-1)^3} dx + \int_{1}^{2} \frac{1}{(x-1)^3} dx$

それぞれの積分を計算する。

$\int \frac{1}{(x-1)^3} dx = \int (x-1)^{-3} dx = \frac{(x-1)^{-2}}{-2} + C = -\frac{1}{2(x-1)^2} + C$

$\lim_{b \to 1^-} \int_{-1}^{b} \frac{1}{(x-1)^3} dx = \lim_{b \to 1^-} \left[ -\frac{1}{2(x-1)^2} \right]_{-1}^{b} = \lim_{b \to 1^-} \left( -\frac{1}{2(b-1)^2} + \frac{1}{2(-1-1)^2} \right) = \lim_{b \to 1^-} \left( -\frac{1}{2(b-1)^2} + \frac{1}{8} \right) = -\infty$

$\lim_{a \to 1^+} \int_{a}^{2} \frac{1}{(x-1)^3} dx = \lim_{a \to 1^+} \left[ -\frac{1}{2(x-1)^2} \right]_{a}^{2} = \lim_{a \to 1^+} \left( -\frac{1}{2(2-1)^2} + \frac{1}{2(a-1)^2} \right) = \lim_{a \to 1^+} \left( -\frac{1}{2} + \frac{1}{2(a-1)^2} \right) = \infty$

したがって、この積分は発散する。

(3) $\int_{0}^{2} \frac{1}{\sqrt[3]{(2-x)^2}} dx = \int_{0}^{2} (2-x)^{-\frac{2}{3}} dx$

$u = 2-x$とおくと、$du = -dx$。よって、$dx = -du$。

積分範囲は、$x=0$のとき$u=2$、$x=2$のとき$u=0$となる。

$\int_{0}^{2} (2-x)^{-\frac{2}{3}} dx = \int_{2}^{0} u^{-\frac{2}{3}} (-du) = \int_{0}^{2} u^{-\frac{2}{3}} du = [3u^{\frac{1}{3}}]_{0}^{2} = 3(2^{\frac{1}{3}}) - 3(0^{\frac{1}{3}}) = 3\sqrt[3]{2}$

(4) $\int_{0}^{\infty} xe^{-x^2} dx$

$u = x^2$とおくと、$du = 2x dx$。よって、$x dx = \frac{1}{2} du$。

積分範囲は、$x=0$のとき$u=0$、$x \to \infty$のとき$u \to \infty$となる。

$\int_{0}^{\infty} xe^{-x^2} dx = \int_{0}^{\infty} e^{-u} \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} e^{-u} du = \frac{1}{2} [-e^{-u}]_{0}^{\infty} = \frac{1}{2} (0 - (-1)) = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

(1) 1

(2) 発散

(3) $3\sqrt[3]{2}$

(4) $\frac{1}{2}$