定積分 $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} (2\sin x + \cos x)^3 dx$ の値を求める。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} (2\sin x + \cos x)^3 dx$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$(2\sin x + \cos x)^3$ を展開します。

$(2\sin x + \cos x)^3 = (2\sin x)^3 + 3(2\sin x)^2(\cos x) + 3(2\sin x)(\cos x)^2 + (\cos x)^3 \\ = 8\sin^3 x + 12\sin^2 x \cos x + 6\sin x \cos^2 x + \cos^3 x$

したがって、

$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} (2\sin x + \cos x)^3 dx = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} (8\sin^3 x + 12\sin^2 x \cos x + 6\sin x \cos^2 x + \cos^3 x) dx$

ここで、$\sin x$ は奇関数、$\cos x$ は偶関数です。奇関数の奇数乗は奇関数、偶関数の奇数乗は偶関数です。また、奇関数と偶関数の積は奇関数です。

$\sin^3 x$ は奇関数、$\cos^3 x$ は奇関数 $\times$ 偶関数$\times$偶関数なので奇関数です。

$\sin^2 x \cos x$ は偶関数 $\times$ 偶関数なので偶関数。

$\sin x \cos^2 x$ は奇関数 $\times$ 偶関数なので奇関数。

奇関数の積分は $\int_{-a}^{a} f(x) dx = 0$ (ただし、$f(x)$ は奇関数)。

偶関数の積分は $\int_{-a}^{a} f(x) dx = 2\int_{0}^{a} f(x) dx$ (ただし、$f(x)$ は偶関数)。

したがって、

$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} 8\sin^3 x dx = 0$

$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} 6\sin x \cos^2 x dx = 0$

$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos^3 x dx = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^3 x dx = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x (1 - \sin^2 x) dx$

$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} 12\sin^2 x \cos x dx = 2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 12\sin^2 x \cos x dx$

$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^3 x dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x (1 - \sin^2 x) dx$.

$u = \sin x$ とすると、$du = \cos x dx$. $x: 0 \to \frac{\pi}{2}$, $u: 0 \to 1$.

$I = \int_{0}^{1} (1-u^2) du = [u - \frac{u^3}{3}]_{0}^{1} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.

$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos^3 x dx = 2I = 2 \times \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$.

$J = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 x \cos x dx$. $u = \sin x$ とすると、$du = \cos x dx$.

$x: 0 \to \frac{\pi}{2}$, $u: 0 \to 1$.

$J = \int_{0}^{1} u^2 du = [\frac{u^3}{3}]_{0}^{1} = \frac{1}{3}$.

$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} 12 \sin^2 x \cos x dx = 2 \times 12 \times \frac{1}{3} = 8$.

$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} (2\sin x + \cos x)^3 dx = 0 + 8 + 0 + \frac{4}{3} = 8 + \frac{4}{3} = \frac{24+4}{3} = \frac{28}{3}$.

3. 最終的な答え

$\frac{28}{3}$