与えられた6つの不定積分を計算する問題です。積分定数は省略可能です。 (1) $\int (1+\sqrt{x})^2 dx$ (2) $\int \frac{x}{(x^2+1)^2} dx$ (3) $\int \frac{(\log x)^3}{x} dx$ (4) $\int (x-1)e^x dx$ (5) $\int x \cos x dx$ (6) $\int \frac{1}{x(x+3)} dx$

1. 問題の内容

与えられた6つの不定積分を計算する問題です。積分定数は省略可能です。

(1) $\int (1+\sqrt{x})^2 dx$

(2) $\int \frac{x}{(x^2+1)^2} dx$

(3) $\int \frac{(\log x)^3}{x} dx$

(4) $\int (x-1)e^x dx$

(5) $\int x \cos x dx$

(6) $\int \frac{1}{x(x+3)} dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int (1+\sqrt{x})^2 dx$

まず、$(1+\sqrt{x})^2$を展開します。

$(1+\sqrt{x})^2 = 1 + 2\sqrt{x} + x$

したがって、積分は

$\int (1 + 2\sqrt{x} + x) dx = \int (1 + 2x^{\frac{1}{2}} + x) dx$

$= x + 2 \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{2}x^2 + C = x + \frac{4}{3} x^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{2}x^2 + C$

(2) $\int \frac{x}{(x^2+1)^2} dx$

$u = x^2+1$ と置換すると、$du = 2x dx$ となります。よって、$x dx = \frac{1}{2} du$。

積分は $\int \frac{1}{u^2} \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int u^{-2} du = \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{-1}}{-1} + C = -\frac{1}{2u} + C = -\frac{1}{2(x^2+1)} + C$

(3) $\int \frac{(\log x)^3}{x} dx$

$u = \log x$ と置換すると、$du = \frac{1}{x} dx$ となります。

積分は $\int u^3 du = \frac{1}{4} u^4 + C = \frac{1}{4} (\log x)^4 + C$

(4) $\int (x-1)e^x dx$

部分積分を行います。$u = x-1$, $dv = e^x dx$ とすると、$du = dx$, $v = e^x$。

$\int (x-1)e^x dx = (x-1)e^x - \int e^x dx = (x-1)e^x - e^x + C = xe^x - e^x - e^x + C = xe^x - 2e^x + C = (x-2)e^x + C$

(5) $\int x \cos x dx$

部分積分を行います。$u = x$, $dv = \cos x dx$ とすると、$du = dx$, $v = \sin x$。

$\int x \cos x dx = x \sin x - \int \sin x dx = x \sin x - (-\cos x) + C = x \sin x + \cos x + C$

(6) $\int \frac{1}{x(x+3)} dx$

部分分数分解を行います。$\frac{1}{x(x+3)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x+3}$

$1 = A(x+3) + Bx$

$x = 0$ のとき、$1 = 3A \Rightarrow A = \frac{1}{3}$

$x = -3$ のとき、$1 = -3B \Rightarrow B = -\frac{1}{3}$

よって、$\frac{1}{x(x+3)} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x+3}$

積分は $\int (\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x+3}) dx = \frac{1}{3} \int (\frac{1}{x} - \frac{1}{x+3}) dx = \frac{1}{3} (\log|x| - \log|x+3|) + C = \frac{1}{3} \log|\frac{x}{x+3}| + C$

3. 最終的な答え

(1) $x + \frac{4}{3}x^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{2}x^2$

(2) $-\frac{1}{2(x^2+1)}$

(3) $\frac{1}{4}(\log x)^4$

(4) $(x-2)e^x$

(5) $x\sin x + \cos x$

(6) $\frac{1}{3} \log|\frac{x}{x+3}|$