与えられた広義積分 $\int_{e}^{\infty} \frac{1}{x(\log x)^2} dx$ の値を求めます。

1. 問題の内容

与えられた広義積分

$\int_{e}^{\infty} \frac{1}{x(\log x)^2} dx$

の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、置換積分を行います。$u = \log x$ と置くと、$du = \frac{1}{x} dx$ となります。

積分範囲も変更する必要があります。$x=e$ のとき $u = \log e = 1$ であり、$x \to \infty$ のとき $u \to \infty$ となります。

したがって、積分は次のように書き換えられます。

$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{u^2} du$

次に、この広義積分を計算します。

$\int_{1}^{\infty} u^{-2} du = \lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} u^{-2} du$

$= \lim_{t \to \infty} [-u^{-1}]_{1}^{t} = \lim_{t \to \infty} [-\frac{1}{u}]_{1}^{t}$

$= \lim_{t \to \infty} (-\frac{1}{t} - (-\frac{1}{1})) = \lim_{t \to \infty} (1 - \frac{1}{t})$

$= 1 - 0 = 1$

3. 最終的な答え

$\int_{e}^{\infty} \frac{1}{x(\log x)^2} dx = 1$