## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

問題は広義積分 $\int_{e}^{\infty} \frac{1}{x (\log x)^2} dx$ の値を求めることです。

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2. 解き方の手順

1. **変数変換:** $u = \log x$ とおくと、$du = \frac{1}{x} dx$ となります。また、$x = e$ のとき $u = \log e = 1$ であり、$x \to \infty$ のとき $u \to \infty$ となります。

2. **積分範囲の変更:** 変数変換により積分範囲が $x: e \to \infty$ から $u: 1 \to \infty$ に変わります。

3. **積分:** 与えられた積分は次のように書き換えられます。

$\int_{e}^{\infty} \frac{1}{x (\log x)^2} dx = \int_{1}^{\infty} \frac{1}{u^2} du$

4. **積分計算:** $\int \frac{1}{u^2} du = \int u^{-2} du = -u^{-1} + C = -\frac{1}{u} + C$

5. **定積分の計算:**

$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{u^2} du = \lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{u^2} du = \lim_{t \to \infty} \left[-\frac{1}{u}\right]_{1}^{t} = \lim_{t \to \infty} \left(-\frac{1}{t} - (-\frac{1}{1})\right) = \lim_{t \to \infty} \left(1 - \frac{1}{t}\right)$

6. **極限の計算:** $\lim_{t \to \infty} \left(1 - \frac{1}{t}\right) = 1 - 0 = 1$

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3. 最終的な答え

$\int_{e}^{\infty} \frac{1}{x (\log x)^2} dx = 1$