曲線 $y = \frac{1}{1+x^2}$ と $x$ 軸で囲まれた図形の面積 $S$ を求めよ。

1. 問題の内容

曲線 $y = \frac{1}{1+x^2}$ と $x$ 軸で囲まれた図形の面積 $S$ を求めよ。

2. 解き方の手順

求める面積は、定積分 $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{1+x^2} dx$ で与えられます。

この積分は広義積分なので、次のように計算します。

$S = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{1+x^2} dx = \lim_{a \to \infty} \int_{-a}^{a} \frac{1}{1+x^2} dx$

ここで、$\int \frac{1}{1+x^2} dx = \arctan(x) + C$ であることを利用します。

したがって、

$S = \lim_{a \to \infty} [\arctan(x)]_{-a}^{a} = \lim_{a \to \infty} (\arctan(a) - \arctan(-a))$

$\arctan(x)$ は奇関数なので、$\arctan(-a) = -\arctan(a)$ となります。

よって、

$S = \lim_{a \to \infty} (\arctan(a) + \arctan(a)) = \lim_{a \to \infty} 2\arctan(a)$

$\lim_{a \to \infty} \arctan(a) = \frac{\pi}{2}$ なので、

$S = 2 \cdot \frac{\pi}{2} = \pi$

3. 最終的な答え

$\pi$