与えられた4つの定積分を計算する問題です。 (1) $\int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx$ (2) $\int_{-1}^{2} \frac{1}{(x-1)^3} dx$ (3) $\int_{0}^{2} \frac{1}{\sqrt[3]{(2-x)^2}} dx$ (4) $\int_{0}^{\infty} xe^{-x^2} dx$

1. 問題の内容

与えられた4つの定積分を計算する問題です。

(1) $\int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx$

(2) $\int_{-1}^{2} \frac{1}{(x-1)^3} dx$

(3) $\int_{0}^{2} \frac{1}{\sqrt[3]{(2-x)^2}} dx$

(4) $\int_{0}^{\infty} xe^{-x^2} dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx$

$t = 1 - x^2$ と置換すると、$dt = -2x dx$ より、$x dx = -\frac{1}{2} dt$。

積分範囲は、$x: 0 \to 1$ に対して $t: 1 \to 0$。

よって、

$\int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx = \int_{1}^{0} \frac{-\frac{1}{2}}{\sqrt{t}} dt = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} t^{-1/2} dt = \frac{1}{2} [2t^{1/2}]_{0}^{1} = \frac{1}{2} (2(1)^{1/2} - 2(0)^{1/2}) = \frac{1}{2}(2-0) = 1$

(2) $\int_{-1}^{2} \frac{1}{(x-1)^3} dx$

被積分関数は $x=1$ で定義されないため、これは広義積分です。積分を以下のように分割します。

$\int_{-1}^{2} \frac{1}{(x-1)^3} dx = \int_{-1}^{1} \frac{1}{(x-1)^3} dx + \int_{1}^{2} \frac{1}{(x-1)^3} dx$

$\int \frac{1}{(x-1)^3} dx = \int (x-1)^{-3} dx = \frac{(x-1)^{-2}}{-2} = -\frac{1}{2(x-1)^2}$

$\int_{-1}^{1} \frac{1}{(x-1)^3} dx = \lim_{b \to 1^-} \int_{-1}^{b} \frac{1}{(x-1)^3} dx = \lim_{b \to 1^-} [-\frac{1}{2(x-1)^2}]_{-1}^{b} = \lim_{b \to 1^-} [-\frac{1}{2(b-1)^2} + \frac{1}{2(-1-1)^2}] = \lim_{b \to 1^-} [-\frac{1}{2(b-1)^2} + \frac{1}{8}] = -\infty$

$\int_{1}^{2} \frac{1}{(x-1)^3} dx = \lim_{a \to 1^+} \int_{a}^{2} \frac{1}{(x-1)^3} dx = \lim_{a \to 1^+} [-\frac{1}{2(x-1)^2}]_{a}^{2} = \lim_{a \to 1^+} [-\frac{1}{2(2-1)^2} + \frac{1}{2(a-1)^2}] = \lim_{a \to 1^+} [-\frac{1}{2} + \frac{1}{2(a-1)^2}] = \infty$

積分 $\int_{-1}^{2} \frac{1}{(x-1)^3} dx$ は発散します。

(3) $\int_{0}^{2} \frac{1}{\sqrt[3]{(2-x)^2}} dx$

$t = 2-x$ と置換すると、$dt = -dx$ より、$dx = -dt$。

積分範囲は、$x: 0 \to 2$ に対して $t: 2 \to 0$。

よって、

$\int_{0}^{2} \frac{1}{\sqrt[3]{(2-x)^2}} dx = \int_{2}^{0} \frac{1}{t^{2/3}} (-dt) = \int_{0}^{2} t^{-2/3} dt = [3t^{1/3}]_{0}^{2} = 3(2^{1/3} - 0^{1/3}) = 3\sqrt[3]{2}$

(4) $\int_{0}^{\infty} xe^{-x^2} dx$

$t = x^2$ と置換すると、$dt = 2x dx$ より、$x dx = \frac{1}{2} dt$。

積分範囲は、$x: 0 \to \infty$ に対して $t: 0 \to \infty$。

よって、

$\int_{0}^{\infty} xe^{-x^2} dx = \int_{0}^{\infty} e^{-t} \frac{1}{2} dt = \frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} e^{-t} dt = \frac{1}{2} [-e^{-t}]_{0}^{\infty} = \frac{1}{2} [\lim_{t \to \infty} (-e^{-t}) - (-e^{-0})] = \frac{1}{2} [0 - (-1)] = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

(1) 1

(2) 発散

(3) $3\sqrt[3]{2}$

(4) $\frac{1}{2}$