アステロイド $C: \begin{cases} x = \cos^3 t \\ y = \sin^3 t \end{cases} \quad (0 \le t \le \frac{\pi}{2})$ の長さを求める。

1. 問題の内容

アステロイド $C: \begin{cases} x = \cos^3 t \\ y = \sin^3 t \end{cases} \quad (0 \le t \le \frac{\pi}{2})$ の長さを求める。

2. 解き方の手順

まず、 $x$ と $y$ を $t$ で微分します。

$\frac{dx}{dt} = 3 \cos^2 t (-\sin t) = -3 \cos^2 t \sin t$

$\frac{dy}{dt} = 3 \sin^2 t (\cos t) = 3 \sin^2 t \cos t$

次に、曲線の長さの公式を用いて、長さを計算します。曲線の長さ $L$ は以下のように計算できます。

$L = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2} dt$

$(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2 = (-3 \cos^2 t \sin t)^2 + (3 \sin^2 t \cos t)^2 = 9 \cos^4 t \sin^2 t + 9 \sin^4 t \cos^2 t = 9 \cos^2 t \sin^2 t (\cos^2 t + \sin^2 t) = 9 \cos^2 t \sin^2 t$

したがって、

$\sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2} = \sqrt{9 \cos^2 t \sin^2 t} = 3 |\cos t \sin t| = 3 \cos t \sin t$ ($0 \le t \le \frac{\pi}{2}$なので$\cos t \ge 0, \sin t \ge 0$)

$L = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 3 \cos t \sin t dt = 3 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos t \sin t dt$

ここで、$u = \sin t$ と置くと、$du = \cos t dt$ となり、積分範囲は $t: 0 \to \frac{\pi}{2}$ に対して、$u: 0 \to 1$ となります。

$L = 3 \int_{0}^{1} u du = 3 [\frac{1}{2} u^2]_{0}^{1} = 3 (\frac{1}{2} (1)^2 - \frac{1}{2} (0)^2) = 3 \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{3}{2}$