曲線 $y = x^3 - 3x$ とx軸で囲まれた図形の面積Sを求めます。

以下に問題 (c) の解答を示します。

1. 問題の内容

曲線 $y = x^3 - 3x$ とx軸で囲まれた図形の面積Sを求めます。

2. 解き方の手順

まず、$y = x^3 - 3x$ と $y = 0$ の交点を求めます。

$x^3 - 3x = 0$ を解くと、

$x(x^2 - 3) = 0$

$x(x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3}) = 0$

したがって、交点は $x = -\sqrt{3}, 0, \sqrt{3}$ です。

次に、$-\sqrt{3} \leq x \leq 0$ の範囲では $y \geq 0$ であり、$0 \leq x \leq \sqrt{3}$ の範囲では $y \leq 0$ であることに注意します。

求める面積Sは、

$S = \int_{-\sqrt{3}}^{0} (x^3 - 3x) dx - \int_{0}^{\sqrt{3}} (x^3 - 3x) dx$

となります。

それぞれの積分を計算します。

$\int (x^3 - 3x) dx = \frac{1}{4}x^4 - \frac{3}{2}x^2 + C$

したがって、

$\int_{-\sqrt{3}}^{0} (x^3 - 3x) dx = [\frac{1}{4}x^4 - \frac{3}{2}x^2]_{-\sqrt{3}}^{0} = 0 - (\frac{1}{4}(-\sqrt{3})^4 - \frac{3}{2}(-\sqrt{3})^2) = - (\frac{9}{4} - \frac{9}{2}) = \frac{9}{4}$

$\int_{0}^{\sqrt{3}} (x^3 - 3x) dx = [\frac{1}{4}x^4 - \frac{3}{2}x^2]_{0}^{\sqrt{3}} = (\frac{1}{4}(\sqrt{3})^4 - \frac{3}{2}(\sqrt{3})^2) - 0 = \frac{9}{4} - \frac{9}{2} = -\frac{9}{4}$

したがって、

$S = \frac{9}{4} - (-\frac{9}{4}) = \frac{9}{4} + \frac{9}{4} = \frac{18}{4} = \frac{9}{2}$

3. 最終的な答え

$S = \frac{9}{2}$