与えられた関数 $y$ の微分を求めます。関数は $y = \frac{(x-3)^3(x-1)^4}{\sqrt{x-2}}$ で表されます。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y$ の微分を求めます。関数は $y = \frac{(x-3)^3(x-1)^4}{\sqrt{x-2}}$ で表されます。

2. 解き方の手順

まず、対数微分法を用いるために、両辺の自然対数を取ります。

$$\ln y = \ln \left( \frac{(x-3)^3(x-1)^4}{\sqrt{x-2}} \right)$$

対数の性質を用いて、式を簡略化します。

$$\ln y = \ln (x-3)^3 + \ln (x-1)^4 - \ln \sqrt{x-2}$$

$$\ln y = 3 \ln (x-3) + 4 \ln (x-1) - \frac{1}{2} \ln (x-2)$$

次に、両辺を $x$ で微分します。

$$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{3}{x-3} + \frac{4}{x-1} - \frac{1}{2(x-2)}$$

最後に、$\frac{dy}{dx}$ について解きます。

$$\frac{dy}{dx} = y \left( \frac{3}{x-3} + \frac{4}{x-1} - \frac{1}{2(x-2)} \right)$$

$y$ に元の関数を代入します。

$$\frac{dy}{dx} = \frac{(x-3)^3(x-1)^4}{\sqrt{x-2}} \left( \frac{3}{x-3} + \frac{4}{x-1} - \frac{1}{2(x-2)} \right)$$

3. 最終的な答え

$$\frac{dy}{dx} = \frac{(x-3)^3(x-1)^4}{\sqrt{x-2}} \left( \frac{3}{x-3} + \frac{4}{x-1} - \frac{1}{2(x-2)} \right)$$