媒介変数表示された曲線 $x = a(t - \sin t)$, $y = a(1 - \cos t)$ ($0 \le t \le 2\pi$) と $x$ 軸で囲まれた図形の面積 $S$ を求める問題です。ただし、$a$ は正の定数とします。

1. 問題の内容

媒介変数表示された曲線 $x = a(t - \sin t)$, $y = a(1 - \cos t)$ ($0 \le t \le 2\pi$) と $x$ 軸で囲まれた図形の面積 $S$ を求める問題です。ただし、$a$ は正の定数とします。

2. 解き方の手順

面積 $S$ は積分を用いて求められます。$S = \int y dx$ です。

$x$ と $y$ が $t$ の関数として与えられているので、$dx = \frac{dx}{dt} dt$ を用いて積分変数を $t$ に変換します。

$\frac{dx}{dt} = a(1 - \cos t)$ であるため、$dx = a(1 - \cos t) dt$ となります。

また、$t$ の範囲は $0 \le t \le 2\pi$ です。

よって、$S = \int_{0}^{2\pi} y \frac{dx}{dt} dt = \int_{0}^{2\pi} a(1 - \cos t) a(1 - \cos t) dt$ となります。

$S = a^2 \int_{0}^{2\pi} (1 - \cos t)^2 dt = a^2 \int_{0}^{2\pi} (1 - 2\cos t + \cos^2 t) dt$

ここで $\cos^2 t = \frac{1 + \cos 2t}{2}$ を用いると、

$S = a^2 \int_{0}^{2\pi} (1 - 2\cos t + \frac{1 + \cos 2t}{2}) dt$

$S = a^2 \int_{0}^{2\pi} (\frac{3}{2} - 2\cos t + \frac{1}{2}\cos 2t) dt$

$S = a^2 [\frac{3}{2}t - 2\sin t + \frac{1}{4}\sin 2t]_{0}^{2\pi}$

$S = a^2 (\frac{3}{2}(2\pi) - 2\sin 2\pi + \frac{1}{4}\sin 4\pi - (\frac{3}{2}(0) - 2\sin 0 + \frac{1}{4}\sin 0))$

$S = a^2 (3\pi - 0 + 0 - (0 - 0 + 0))$

$S = 3\pi a^2$

3. 最終的な答え

$3\pi a^2$