関数 $f(x) = x + 2\sin x$ について、$-\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{3}{2}\pi$ の範囲で増減、極値、凹凸を調べ、曲線 $y = f(x)$ の概形を描く問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x + 2\sin x$ について、$-\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{3}{2}\pi$ の範囲で増減、極値、凹凸を調べ、曲線 $y = f(x)$ の概形を描く問題です。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ の導関数を求めます。

$f'(x) = 1 + 2\cos x$

次に、$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$1 + 2\cos x = 0$

$\cos x = -\frac{1}{2}$

$-\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{3}{2}\pi$ の範囲で $\cos x = -\frac{1}{2}$ となる $x$ は $x = \frac{2}{3}\pi$ と $x = \frac{4}{3}\pi$ です。

次に、$f(x)$ の第2次導関数を求めます。

$f''(x) = -2\sin x$

$f''(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$-2\sin x = 0$

$\sin x = 0$

$-\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{3}{2}\pi$ の範囲で $\sin x = 0$ となる $x$ は $x = 0$, $x = \pi$ です。

増減表を作成します。

| x | -π/2 | ... | 2π/3 | ... | 4π/3 | ... | 3π/2 |

|---|-------|-----|-------|-----|-------|-----|-------|

| f'(x) | | + | 0 | - | 0 | + | |

| f''(x) | | + | + | + | - | - | |

| f(x) | | 増加凸 | 極大 | 減少凸 | 極小 | 増加凹 | |

|凹凸|-π/2～0:下凸、0～π：上凸、π～3π/2:下凸|

$f(-\frac{\pi}{2}) = -\frac{\pi}{2} + 2\sin(-\frac{\pi}{2}) = -\frac{\pi}{2} - 2$

$f(\frac{2}{3}\pi) = \frac{2}{3}\pi + 2\sin(\frac{2}{3}\pi) = \frac{2}{3}\pi + 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2}{3}\pi + \sqrt{3}$

$f(\frac{4}{3}\pi) = \frac{4}{3}\pi + 2\sin(\frac{4}{3}\pi) = \frac{4}{3}\pi + 2 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{4}{3}\pi - \sqrt{3}$

$f(\frac{3}{2}\pi) = \frac{3}{2}\pi + 2\sin(\frac{3}{2}\pi) = \frac{3}{2}\pi - 2$

$f(0) = 0 + 2 \cdot 0 = 0$

$f(\pi) = \pi + 2\cdot 0 = \pi$

3. 最終的な答え

増減表より、

* $x = \frac{2}{3}\pi$ のとき極大値 $\frac{2}{3}\pi + \sqrt{3}$

* $x = \frac{4}{3}\pi$ のとき極小値 $\frac{4}{3}\pi - \sqrt{3}$

凹凸は

$x = 0$ と $x = \pi$ で変化します。

* $-\frac{\pi}{2} \le x < 0$ の範囲で下に凸

* $0 < x < \pi$ の範囲で上に凸

* $\pi < x \le \frac{3}{2}\pi$ の範囲で下に凸

グラフの概形については、上記の極値と凹凸の情報に基づいて描くことができます。グラフは、$x$ が増加するにつれて概ね増加する傾向にあり、$\sin x$ の影響で波打つような形になります。