与えられた問題は、以下の5つのカテゴリに分かれています。 1. 逆三角関数の値を求める問題

はい、承知いたしました。画像の問題を解きます。

1. 問題の内容

与えられた問題は、以下の5つのカテゴリに分かれています。

1. 逆三角関数の値を求める問題

2. 極限を計算する問題

3. 関数の導関数を求める問題

4. 関数 $f(x) = e^{-x^2}$ に関する問題（接線の方程式と極値を求める）

5. 積分を計算する問題

2. 解き方の手順

(1) 逆三角関数の値を求める

(1) $sin^{-1}(\frac{1}{2})$：

$sin(\theta) = \frac{1}{2}$ となる $\theta$ を求めます。$\theta = \frac{\pi}{6}$

(2) $cos^{-1}(-\frac{1}{2})$：

$cos(\theta) = -\frac{1}{2}$ となる $\theta$ を求めます。$\theta = \frac{2\pi}{3}$

(3) $tan^{-1}(\sqrt{3})$：

$tan(\theta) = \sqrt{3}$ となる $\theta$ を求めます。$\theta = \frac{\pi}{3}$

(2) 極限を計算する

(1) $\lim_{x \to 1} \frac{2x^2 - x - 1}{x - 1}$：

分子を因数分解すると $2x^2 - x - 1 = (2x + 1)(x - 1)$。

$\lim_{x \to 1} \frac{(2x + 1)(x - 1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1} (2x + 1) = 2(1) + 1 = 3$

(2) $\lim_{x \to \infty} tan^{-1}x$：

$x \to \infty$ のとき、$tan^{-1}x \to \frac{\pi}{2}$

(3) $\lim_{x \to \infty} (1 - \frac{1}{x})^x$：

$\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{a}{x})^x = e^a$ より、

$\lim_{x \to \infty} (1 - \frac{1}{x})^x = e^{-1} = \frac{1}{e}$

(4) $\lim_{x \to 0} \frac{sin(4x)}{x}$：

$\lim_{x \to 0} \frac{sin(ax)}{x} = a$ より、

$\lim_{x \to 0} \frac{sin(4x)}{x} = 4$

(5) $\lim_{x \to 0} \frac{sin^{-1}x}{x}$：

ロピタルの定理より、

$\lim_{x \to 0} \frac{sin^{-1}x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}}{1} = \frac{1}{\sqrt{1 - 0}} = 1$

(3) 関数の導関数を求める

(1) $y = 3x^2 + \sqrt{x} + \frac{1}{x}$：

$y = 3x^2 + x^{\frac{1}{2}} + x^{-1}$

$\frac{dy}{dx} = 6x + \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} - x^{-2} = 6x + \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{x^2}$

(2) $y = x cos^{-1}x - \sqrt{1 - x^2}$：

$\frac{dy}{dx} = cos^{-1}x + x(-\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}) - \frac{1}{2}(1 - x^2)^{-\frac{1}{2}}(-2x) = cos^{-1}x - \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} + \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} = cos^{-1}x$

(3) $y = \frac{log x}{x}$：

$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{1}{x}x - log x}{x^2} = \frac{1 - log x}{x^2}$

(4) $y = sin^3(2x)$：

$\frac{dy}{dx} = 3sin^2(2x) \cdot cos(2x) \cdot 2 = 6sin^2(2x)cos(2x)$

(5) $y = x^x$：

$log y = x log x$

$\frac{1}{y}\frac{dy}{dx} = log x + 1$

$\frac{dy}{dx} = y(log x + 1) = x^x(log x + 1)$

(4) 関数 $f(x) = e^{-x^2}$ に関する問題

(1) 曲線 $y = f(x)$ 上の点 $(1, f(1))$ における接線の方程式を求めよ。

$f(1) = e^{-1} = \frac{1}{e}$

$f'(x) = -2xe^{-x^2}$

$f'(1) = -2e^{-1} = -\frac{2}{e}$

接線の方程式は $y - \frac{1}{e} = -\frac{2}{e}(x - 1)$

$y = -\frac{2}{e}x + \frac{3}{e}$

(2) $f(x)$の極値を求めよ。

$f'(x) = -2xe^{-x^2} = 0$ より $x = 0$

$x < 0$ のとき $f'(x) > 0$

$x > 0$ のとき $f'(x) < 0$

よって、$x = 0$ で極大値 $f(0) = e^0 = 1$ をとる。極小値はない。

(5) 積分を計算する

(1) $\int (2x + 1)^8 dx$：

$u = 2x + 1$ とすると、$\frac{du}{dx} = 2$ より $dx = \frac{1}{2}du$

$\int u^8 \frac{1}{2}du = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{9}u^9 + C = \frac{1}{18}(2x + 1)^9 + C$

(2) $\int \frac{1}{\sqrt{4 - x^2}} dx$：

$\int \frac{1}{\sqrt{4(1 - (\frac{x}{2})^2)}} dx = \int \frac{1}{2\sqrt{1 - (\frac{x}{2})^2}} dx$

$u = \frac{x}{2}$ とすると、$\frac{du}{dx} = \frac{1}{2}$ より $dx = 2du$

$\int \frac{1}{2\sqrt{1 - u^2}} 2du = \int \frac{1}{\sqrt{1 - u^2}} du = sin^{-1}u + C = sin^{-1}(\frac{x}{2}) + C$

(3) $\int cos^2 x dx$：

$cos^2 x = \frac{1 + cos(2x)}{2}$

$\int \frac{1 + cos(2x)}{2} dx = \frac{1}{2} \int (1 + cos(2x)) dx = \frac{1}{2}(x + \frac{1}{2}sin(2x)) + C = \frac{x}{2} + \frac{1}{4}sin(2x) + C$

(4) $\int tan^{-1} x dx$：

部分積分：$u = tan^{-1}x$, $dv = dx$ とすると、$du = \frac{1}{1 + x^2}dx$, $v = x$

$\int tan^{-1} x dx = x tan^{-1}x - \int \frac{x}{1 + x^2} dx$

$w = 1 + x^2$ とすると、$dw = 2x dx$

$\int \frac{x}{1 + x^2} dx = \frac{1}{2} \int \frac{1}{w} dw = \frac{1}{2}log|w| + C = \frac{1}{2}log(1 + x^2) + C$

$\int tan^{-1} x dx = x tan^{-1}x - \frac{1}{2}log(1 + x^2) + C$

(5) $\int \frac{2x + 1}{x^2 - 1} dx$：

$\frac{2x + 1}{x^2 - 1} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 1}$

$2x + 1 = A(x + 1) + B(x - 1)$

$x = 1$ のとき $3 = 2A$, $A = \frac{3}{2}$

$x = -1$ のとき $-1 = -2B$, $B = \frac{1}{2}$

$\int \frac{2x + 1}{x^2 - 1} dx = \int (\frac{3}{2(x - 1)} + \frac{1}{2(x + 1)}) dx = \frac{3}{2}log|x - 1| + \frac{1}{2}log|x + 1| + C$

3. 最終的な答え

(1) 逆三角関数

(1) $\frac{\pi}{6}$

(2) $\frac{2\pi}{3}$

(3) $\frac{\pi}{3}$

(2) 極限

(1) 3

(2) $\frac{\pi}{2}$

(3) $\frac{1}{e}$

(4) 4

(5) 1

(3) 導関数

(1) $6x + \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{x^2}$

(2) $cos^{-1}x$

(3) $\frac{1 - log x}{x^2}$

(4) $6sin^2(2x)cos(2x)$

(5) $x^x(log x + 1)$

(4) 関数 $f(x) = e^{-x^2}$

(1) $y = -\frac{2}{e}x + \frac{3}{e}$

(2) $x = 0$ で極大値 1

(5) 積分

(1) $\frac{1}{18}(2x + 1)^9 + C$

(2) $sin^{-1}(\frac{x}{2}) + C$

(3) $\frac{x}{2} + \frac{1}{4}sin(2x) + C$

(4) $x tan^{-1}x - \frac{1}{2}log(1 + x^2) + C$

(5) $\frac{3}{2}log|x - 1| + \frac{1}{2}log|x + 1| + C$