与えられた問題は、逆三角関数の値、極限、導関数、接線の方程式、極値、積分を計算する問題です。具体的には、以下のものが問われています。 (1) 逆三角関数の値を求める問題（3問） (2) 極限を計算する問題（5問） (3) 関数の導関数を求める問題（5問） (4) 関数 $f(x) = e^{-x^2}$ に関する問題（2問：接線の方程式と極値を求める） (5) 積分を計算する問題（5問）

はい、承知いたしました。与えられた数学の問題を解きます。

1. 問題の内容

与えられた問題は、逆三角関数の値、極限、導関数、接線の方程式、極値、積分を計算する問題です。具体的には、以下のものが問われています。

(1) 逆三角関数の値を求める問題（3問）

(2) 極限を計算する問題（5問）

(3) 関数の導関数を求める問題（5問）

(4) 関数 $f(x) = e^{-x^2}$ に関する問題（2問：接線の方程式と極値を求める）

(5) 積分を計算する問題（5問）

2. 解き方の手順

以下、各問題ごとに解き方と解答を示します。

(1) 逆三角関数の値を求める問題

(1) $sin^{-1}(\frac{1}{2})$

$\sin(\theta) = \frac{1}{2}$ となる $\theta$ を探します。主値を取るので、$\theta = \frac{\pi}{6}$

(2) $cos^{-1}(-\frac{1}{2})$

$\cos(\theta) = -\frac{1}{2}$ となる $\theta$ を探します。主値を取るので、$\theta = \frac{2\pi}{3}$

(3) $tan^{-1}(\sqrt{3})$

$\tan(\theta) = \sqrt{3}$ となる $\theta$ を探します。主値を取るので、$\theta = \frac{\pi}{3}$

(2) 極限を計算する問題

(1) $\lim_{x \to 1} \frac{2x^2 - x - 1}{x - 1}$

分子を因数分解すると $2x^2 - x - 1 = (2x + 1)(x - 1)$ なので、

$\lim_{x \to 1} \frac{(2x + 1)(x - 1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1} (2x + 1) = 2(1) + 1 = 3$

(2) $\lim_{x \to \infty} tan^{-1} x$

$x$ が無限大に近づくと、$tan^{-1} x$ は $\frac{\pi}{2}$ に近づきます。

(3) $\lim_{x \to \infty} (1 - \frac{1}{x})^x$

$\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{a}{x})^x = e^a$ の公式を利用すると、$a = -1$ なので、$e^{-1} = \frac{1}{e}$

(4) $\lim_{x \to 0} \frac{sin 4x}{x}$

$\lim_{x \to 0} \frac{sin x}{x} = 1$ の公式を利用するために、$\frac{sin 4x}{x} = 4 \cdot \frac{sin 4x}{4x}$ と変形します。

$\lim_{x \to 0} 4 \cdot \frac{sin 4x}{4x} = 4 \cdot 1 = 4$

(5) $\lim_{x \to 0} \frac{sin^{-1} x}{x}$

$\lim_{x \to 0} \frac{sin^{-1} x}{x} = 1$ （ロピタルの定理を使うか、$\sin^{-1}x = t$とおいて$x \to 0$のとき$t \to 0$を用いて置換積分する）

(3) 関数の導関数を求める問題

(1) $y = 3x^2 + \sqrt{x} + \frac{1}{x}$

$y = 3x^2 + x^{\frac{1}{2}} + x^{-1}$ なので、$y' = 6x + \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} - x^{-2} = 6x + \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{x^2}$

(2) $y = x cos^{-1}x - \sqrt{1 - x^2}$

$y' = cos^{-1}x + x \cdot (-\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}) - \frac{-2x}{2\sqrt{1 - x^2}} = cos^{-1}x - \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} + \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} = cos^{-1}x$

(3) $y = \frac{log x}{x}$

$y' = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - log x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - log x}{x^2}$

(4) $y = sin^3 2x$

$y' = 3 sin^2 2x \cdot cos 2x \cdot 2 = 6 sin^2 2x cos 2x$

(5) $y = x^x$

両辺の自然対数を取ると、$log y = x log x$

両辺を $x$ で微分すると、$\frac{y'}{y} = log x + x \cdot \frac{1}{x} = log x + 1$

$y' = y (log x + 1) = x^x (log x + 1)$

(4) 関数 $f(x) = e^{-x^2}$ に関する問題

(1) 曲線 $y = f(x)$ 上の点 (1, f(1)) における接線の方程式

$f(1) = e^{-1^2} = e^{-1} = \frac{1}{e}$

$f'(x) = e^{-x^2} \cdot (-2x) = -2x e^{-x^2}$

$f'(1) = -2(1) e^{-1^2} = -2 e^{-1} = -\frac{2}{e}$

接線の方程式は $y - f(1) = f'(1)(x - 1)$ なので、$y - \frac{1}{e} = -\frac{2}{e}(x - 1)$

$y = -\frac{2}{e}x + \frac{2}{e} + \frac{1}{e} = -\frac{2}{e}x + \frac{3}{e}$

(2) $f(x)$ の極値

$f'(x) = -2x e^{-x^2} = 0$ より、$x = 0$

$x < 0$ のとき $f'(x) > 0$、$x > 0$ のとき $f'(x) < 0$ なので、$x = 0$ で極大値を取る。

$f(0) = e^{-0^2} = e^0 = 1$

(5) 積分を計算する問題

(1) $\int (2x + 1)^8 dx$

$u = 2x + 1$ と置くと、$du = 2 dx$ なので、$dx = \frac{1}{2} du$

$\int u^8 \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int u^8 du = \frac{1}{2} \cdot \frac{u^9}{9} + C = \frac{(2x + 1)^9}{18} + C$

(2) $\int \frac{1}{\sqrt{4 - x^2}} dx$

$x = 2 \sin \theta$ と置くと、$dx = 2 \cos \theta d\theta$

$\sqrt{4 - x^2} = \sqrt{4 - 4 \sin^2 \theta} = \sqrt{4 \cos^2 \theta} = 2 \cos \theta$

$\int \frac{1}{2 \cos \theta} \cdot 2 \cos \theta d\theta = \int d\theta = \theta + C = \sin^{-1}(\frac{x}{2}) + C$

(3) $\int cos^2 x dx$

$cos^2 x = \frac{1 + cos 2x}{2}$ なので、

$\int \frac{1 + cos 2x}{2} dx = \frac{1}{2} \int (1 + cos 2x) dx = \frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} sin 2x) + C = \frac{x}{2} + \frac{sin 2x}{4} + C$

(4) $\int tan^{-1} x dx$

部分積分を用いる。$u = tan^{-1} x$, $dv = dx$ とすると、$du = \frac{1}{1 + x^2} dx$, $v = x$

$\int tan^{-1} x dx = x tan^{-1} x - \int \frac{x}{1 + x^2} dx$

$t = 1 + x^2$ と置くと、$dt = 2x dx$ なので、$x dx = \frac{1}{2} dt$

$x tan^{-1} x - \int \frac{1}{t} \cdot \frac{1}{2} dt = x tan^{-1} x - \frac{1}{2} log|t| + C = x tan^{-1} x - \frac{1}{2} log(1 + x^2) + C$

(5) $\int \frac{2x + 1}{x^2 - 1} dx$

$\frac{2x + 1}{x^2 - 1} = \frac{2x + 1}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 1}$ と部分分数分解する。

$2x + 1 = A(x + 1) + B(x - 1)$

$x = 1$ のとき、$3 = 2A$ より $A = \frac{3}{2}$

$x = -1$ のとき、$-1 = -2B$ より $B = \frac{1}{2}$

$\int (\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{x - 1} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x + 1}) dx = \frac{3}{2} log|x - 1| + \frac{1}{2} log|x + 1| + C$

3. 最終的な答え

(1) 逆三角関数

(1) $\frac{\pi}{6}$

(2) $\frac{2\pi}{3}$

(3) $\frac{\pi}{3}$

(2) 極限

(1) 3

(2) $\frac{\pi}{2}$

(3) $\frac{1}{e}$

(4) 4

(5) 1

(3) 導関数

(1) $6x + \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{x^2}$

(2) $cos^{-1}x$

(3) $\frac{1 - log x}{x^2}$

(4) $6 sin^2 2x cos 2x$

(5) $x^x (log x + 1)$

(4) $f(x) = e^{-x^2}$

(1) $y = -\frac{2}{e}x + \frac{3}{e}$

(2) $x = 0$ で極大値1

(5) 積分

(1) $\frac{(2x + 1)^9}{18} + C$

(2) $\sin^{-1}(\frac{x}{2}) + C$

(3) $\frac{x}{2} + \frac{sin 2x}{4} + C$

(4) $x tan^{-1} x - \frac{1}{2} log(1 + x^2) + C$

(5) $\frac{3}{2} log|x - 1| + \frac{1}{2} log|x + 1| + C$