次の極限を計算します。 $\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x+7}-3}{x-2}$

1. 問題の内容

次の極限を計算します。

$\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x+7}-3}{x-2}$

2. 解き方の手順

まず、$x=2$を代入すると、分子は$\sqrt{2+7}-3 = \sqrt{9}-3 = 3-3 = 0$となり、分母も$2-2=0$となります。これは$\frac{0}{0}$の不定形なので、直接代入することはできません。そこで、分子を有理化することを試みます。

分子と分母に$\sqrt{x+7}+3$を掛けます。

$\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x+7}-3}{x-2} = \lim_{x \to 2} \frac{(\sqrt{x+7}-3)(\sqrt{x+7}+3)}{(x-2)(\sqrt{x+7}+3)}$

分子を展開すると、 $(\sqrt{x+7}-3)(\sqrt{x+7}+3) = (\sqrt{x+7})^2 - 3^2 = (x+7) - 9 = x - 2$となります。

$\lim_{x \to 2} \frac{x-2}{(x-2)(\sqrt{x+7}+3)}$

$x \to 2$のとき、$x \neq 2$なので、$x-2 \neq 0$。したがって、$x-2$で約分できます。

$\lim_{x \to 2} \frac{1}{\sqrt{x+7}+3}$

ここで、$x=2$を代入すると、$\sqrt{2+7}+3 = \sqrt{9}+3 = 3+3 = 6$となります。

したがって、

$\lim_{x \to 2} \frac{1}{\sqrt{x+7}+3} = \frac{1}{6}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{6}$