放物線 $y = x^2 - 4x + 1$ と $x$ 軸で囲まれた部分の面積を求める問題です。選択肢として A. $4\sqrt{2}$, B. $4\sqrt{3}$ が与えられています。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2 - 4x + 1$ と $x$ 軸で囲まれた部分の面積を求める問題です。選択肢として A. $4\sqrt{2}$, B. $4\sqrt{3}$ が与えられています。

2. 解き方の手順

まず、$y = x^2 - 4x + 1$ と $x$ 軸の交点の $x$ 座標を求めます。これは、$y=0$ とおいて $x$ の値を求めることに相当します。

$x^2 - 4x + 1 = 0$

この二次方程式を解の公式を使って解きます。

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

$x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(1)}}{2(1)}$

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2}$

$x = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2}$

$x = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2}$

$x = 2 \pm \sqrt{3}$

$x$ 軸との交点の $x$ 座標は $2 - \sqrt{3}$ と $2 + \sqrt{3}$ です。したがって、求める面積は、定積分 $\int_{2-\sqrt{3}}^{2+\sqrt{3}} -(x^2 - 4x + 1) \, dx$ で計算できます。

$\int_{2-\sqrt{3}}^{2+\sqrt{3}} -(x^2 - 4x + 1) \, dx = - \int_{2-\sqrt{3}}^{2+\sqrt{3}} (x^2 - 4x + 1) \, dx$

$= - \left[ \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + x \right]_{2-\sqrt{3}}^{2+\sqrt{3}}$

ここで、$F(x) = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + x$ とおくと、

$F(2 + \sqrt{3}) = \frac{1}{3}(2+\sqrt{3})^3 - 2(2+\sqrt{3})^2 + (2+\sqrt{3})$

$= \frac{1}{3}(8 + 12\sqrt{3} + 18 + 3\sqrt{3}) - 2(4 + 4\sqrt{3} + 3) + 2 + \sqrt{3}$

$= \frac{1}{3}(26 + 15\sqrt{3}) - 2(7 + 4\sqrt{3}) + 2 + \sqrt{3}$

$= \frac{26}{3} + 5\sqrt{3} - 14 - 8\sqrt{3} + 2 + \sqrt{3}$

$= \frac{26}{3} - 12 - 2\sqrt{3} = \frac{26 - 36}{3} - 2\sqrt{3} = -\frac{10}{3} - 2\sqrt{3}$

$F(2 - \sqrt{3}) = \frac{1}{3}(2-\sqrt{3})^3 - 2(2-\sqrt{3})^2 + (2-\sqrt{3})$

$= \frac{1}{3}(8 - 12\sqrt{3} + 18 - 3\sqrt{3}) - 2(4 - 4\sqrt{3} + 3) + 2 - \sqrt{3}$

$= \frac{1}{3}(26 - 15\sqrt{3}) - 2(7 - 4\sqrt{3}) + 2 - \sqrt{3}$

$= \frac{26}{3} - 5\sqrt{3} - 14 + 8\sqrt{3} + 2 - \sqrt{3}$

$= \frac{26}{3} - 12 + 2\sqrt{3} = \frac{26 - 36}{3} + 2\sqrt{3} = -\frac{10}{3} + 2\sqrt{3}$

よって、$-\left[ -\frac{10}{3} - 2\sqrt{3} - \left(-\frac{10}{3} + 2\sqrt{3} \right) \right] = -(-4\sqrt{3}) = 4\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$4\sqrt{3}$

B