図1のグラフから関数 $y=$ ア,$y=$ イ,$y=$ ウ を求め、図2のグラフから $a$, $b$, $c$ の値を求め、最後に$y=-2\sin x - 2\cos x$ を合成した関数を求める。

1. 問題の内容

図1のグラフから関数 $y=$ ア,$y=$ イ,$y=$ ウ を求め、図2のグラフから $a$, $b$, $c$ の値を求め、最後に$y=-2\sin x - 2\cos x$ を合成した関数を求める。

2. 解き方の手順

(1) 図1について:

- 実線 A のグラフは、振幅が2、周期が $2\pi$ の正弦関数なので、$y = 2 \sin x$。よって、アの答えは $2 \sin x$。選択肢①

- 点線 A' のグラフは、実線 A のグラフを $x$ 軸に関して反転させたものなので、$y = -2 \sin x$。よって、イの答えは $-2 \sin x$。選択肢②

- 関数 $y = 2\cos x$ のグラフは、関数 $y = 2\sin(x + \frac{\pi}{2})$ と同じなので、関数 $y = -2\sin x$ を $x$ 軸方向に $\frac{\pi}{2}$ 平行移動して $y = -2\sin(x+\frac{\pi}{2})$。よって、ウの答えは $-2\sin(x+\frac{\pi}{2})$。選択肢②

(2) 図2について:

- 図2から $a = 2$ である。

- $y = 2\sin x + 2\cos x$ を合成する。$2\sin x + 2\cos x = \sqrt{2^2 + 2^2} \sin(x + \alpha) = 2\sqrt{2} \sin(x + \alpha)$。ここで、$\cos \alpha = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$、$\sin \alpha = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ より、$\alpha = \frac{\pi}{4}$。

したがって、$y = 2\sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4})$。

- 図2において、$b$ は最大値なので $b = 2\sqrt{2}$。$c$ は $x$ 切片の一つなので、$2\sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4}) = 0$ を解くと、$x + \frac{\pi}{4} = 0, \pi, 2\pi, \dots$。$x = -\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}, \dots$。図2から $c < 0$ なので、$c = -\frac{\pi}{4}$。

- よって、$b = 2\sqrt{2}$、$c = -\frac{\pi}{4}$ なので、オの答えは①。

(3) 最後に、$y = -2\sin x - 2\cos x$ を合成する。$y = -(2\sin x + 2\cos x) = -2\sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4})$。

- したがって、カの答えは② $-2\sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4})$。

3. 最終的な答え

ア: 0

イ: 2

ウ: 2

エ: 2

オ: 0

カ: 2