関数 $f(x) = \frac{1}{1+x^2}$ をマクローリン展開せよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{1}{1+x^2}$ をマクローリン展開せよ。

2. 解き方の手順

まず、等比数列の公式を思い出します。

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\frac{1}{1-r} = \sum_{n=0}^{\infty} r^n, \quad |r| < 1

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この公式を適用するために、$f(x) = \frac{1}{1+x^2}$ を $\frac{1}{1-r}$ の形に書き換えます。$r = -x^2$ とすれば、

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f(x) = \frac{1}{1-(-x^2)}

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となります。

等比数列の公式を適用すると、

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\frac{1}{1-(-x^2)} = \sum_{n=0}^{\infty} (-x^2)^n = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n}

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この級数が収束するのは $|-x^2| < 1$ のとき、つまり $|x| < 1$ のときです。したがって、

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\frac{1}{1+x^2} = 1 - x^2 + x^4 - x^6 + x^8 - \dots

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3. 最終的な答え

マクローリン展開は

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\frac{1}{1+x^2} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n} = 1 - x^2 + x^4 - x^6 + x^8 - \dots, \quad |x| < 1

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となります。