$\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{ax+3}-1}{x-2}$ が収束するように $a$ の値を定め、そのときの極限値を求める問題です。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{ax+3}-1}{x-2}$ が収束するように $a$ の値を定め、そのときの極限値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、 $x \to 2$ のとき、分母は $x-2 \to 0$ となります。極限が存在するためには、分子も $x \to 2$ のとき $0$ に収束する必要があります。つまり、

$\sqrt{a(2)+3} - 1 = 0$

$\sqrt{2a+3} = 1$

$2a+3 = 1$

$2a = -2$

$a = -1$

である必要があります。

次に、$a=-1$ のとき、

$\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{-x+3}-1}{x-2}$

を計算します。分子に $\sqrt{-x+3}+1$ を掛けて、分母にも同じものを掛けます。

$\lim_{x \to 2} \frac{(\sqrt{-x+3}-1)(\sqrt{-x+3}+1)}{(x-2)(\sqrt{-x+3}+1)}$

$= \lim_{x \to 2} \frac{(-x+3)-1}{(x-2)(\sqrt{-x+3}+1)}$

$= \lim_{x \to 2} \frac{-x+2}{(x-2)(\sqrt{-x+3}+1)}$

$= \lim_{x \to 2} \frac{-(x-2)}{(x-2)(\sqrt{-x+3}+1)}$

$= \lim_{x \to 2} \frac{-1}{\sqrt{-x+3}+1}$

ここで、$x \to 2$ を代入すると、

$\frac{-1}{\sqrt{-2+3}+1} = \frac{-1}{\sqrt{1}+1} = \frac{-1}{1+1} = -\frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$a = -1$

極限値は $-\frac{1}{2}$