極限 $\lim_{x \to 4} \frac{x-4}{\sqrt{x-3}-1}$ を計算します。

1. 問題の内容

極限 $\lim_{x \to 4} \frac{x-4}{\sqrt{x-3}-1}$ を計算します。

2. 解き方の手順

$x$ が4に近づくとき、$\frac{x-4}{\sqrt{x-3}-1}$ は $\frac{0}{0}$ の不定形になるので、分母を有理化して極限を計算します。

分母の有理化を行うために、分母と分子に $\sqrt{x-3}+1$ を掛けます。

$\lim_{x \to 4} \frac{x-4}{\sqrt{x-3}-1} = \lim_{x \to 4} \frac{(x-4)(\sqrt{x-3}+1)}{(\sqrt{x-3}-1)(\sqrt{x-3}+1)}$

$(\sqrt{x-3}-1)(\sqrt{x-3}+1) = (x-3) - 1 = x-4$ なので、

$\lim_{x \to 4} \frac{(x-4)(\sqrt{x-3}+1)}{x-4} = \lim_{x \to 4} (\sqrt{x-3}+1)$

$x$ が4に近づくとき、$\sqrt{x-3}+1$ は $\sqrt{4-3}+1 = \sqrt{1}+1 = 1+1 = 2$ に近づきます。

したがって、

$\lim_{x \to 4} (\sqrt{x-3}+1) = 2$

3. 最終的な答え

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