極限 $\lim_{x \to 2} \frac{ax^2 + bx + 1}{x - 2} = 1$ が成り立つように、$a, b$ の値を定める問題です。

1. 問題の内容

極限 $\lim_{x \to 2} \frac{ax^2 + bx + 1}{x - 2} = 1$ が成り立つように、$a, b$ の値を定める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x \to 2$ のとき、分母が $0$ に近づくため、極限が存在するためには、分子も $0$ に近づく必要があります。つまり、

$4a + 2b + 1 = 0$

が成り立ちます。

これを $b$ について解くと、

$b = -\frac{4a+1}{2}$

となります。

これを元の式に代入すると、

$\lim_{x \to 2} \frac{ax^2 - \frac{4a+1}{2}x + 1}{x - 2} = 1$

$\lim_{x \to 2} \frac{2ax^2 - (4a+1)x + 2}{2(x - 2)} = 1$

ここで、分子が $(x-2)$ で割り切れることを利用して因数分解を行います。

分子は $2ax^2 - (4a+1)x + 2 = 0$ を満たす $x=2$ を根に持つので、$2ax^2 - (4a+1)x + 2$ は $(x-2)$ を因数に持つことがわかります。

よって、$2ax^2 - (4a+1)x + 2 = (x-2)(2ax+c)$ と表せます。

$(x-2)(2ax+c) = 2ax^2 + cx - 4ax - 2c = 2ax^2 + (c - 4a)x - 2c$

係数を比較すると、$c - 4a = -(4a+1)$ かつ $-2c = 2$ なので、$c=-1$ となり、

$-1 - 4a = -4a - 1$

これは常に成り立つため、$c = -1$ が求まりました。

したがって、

$2ax^2 - (4a+1)x + 2 = (x-2)(2ax-1)$

となり、

$\lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(2ax-1)}{2(x - 2)} = 1$

$\lim_{x \to 2} \frac{2ax-1}{2} = 1$

$x = 2$ を代入して、

$\frac{4a - 1}{2} = 1$

$4a - 1 = 2$

$4a = 3$

$a = \frac{3}{4}$

これを $b = -\frac{4a+1}{2}$ に代入すると、

$b = -\frac{4(\frac{3}{4})+1}{2} = -\frac{3+1}{2} = -\frac{4}{2} = -2$

3. 最終的な答え

$a = \frac{3}{4}$

$b = -2$