与えられた問題を要約すると、以下のようになります。 (1) $I_n = \int_0^{\pi/2} \cos^n \theta d\theta$ と定義する。$I_n$ と $I_{n-2}$ の間の漸化式を導き、$I_n$ の値を求めよ。 (2) 自然数 $n$ に対し、$\int_0^1 (1-x^2)^n dx \le \int_0^1 e^{-nx^2} dx \le \int_0^1 \frac{dx}{(1+x^2)^n}$ を示せ。 (3) 不等式 $\int_0^1 (1-x^2)^n dx \le \int_0^1 e^{-nx^2} dx \le \int_0^\infty \frac{dx}{(1+x^2)^n}$ が成り立つことを示し、左辺と右辺の値を $I_m$ の形で表せ。 (4) (1)と(3)の結果を利用して、$\int_0^\infty e^{-x^2} dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$ を示せ。ウォリスの公式 $\pi = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \left( \frac{(2n)!!}{(2n-1)!!} \right)^2$ は証明なしで利用してよい。

1. 問題の内容

与えられた問題を要約すると、以下のようになります。

(1) $I_n = \int_0^{\pi/2} \cos^n \theta d\theta$ と定義する。$I_n$ と $I_{n-2}$ の間の漸化式を導き、$I_n$ の値を求めよ。

(2) 自然数 $n$ に対し、$\int_0^1 (1-x^2)^n dx \le \int_0^1 e^{-nx^2} dx \le \int_0^1 \frac{dx}{(1+x^2)^n}$ を示せ。

(3) 不等式 $\int_0^1 (1-x^2)^n dx \le \int_0^1 e^{-nx^2} dx \le \int_0^\infty \frac{dx}{(1+x^2)^n}$ が成り立つことを示し、左辺と右辺の値を $I_m$ の形で表せ。

(4) (1)と(3)の結果を利用して、$\int_0^\infty e^{-x^2} dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$ を示せ。ウォリスの公式 $\pi = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \left( \frac{(2n)!!}{(2n-1)!!} \right)^2$ は証明なしで利用してよい。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$I_n$ と $I_{n-2}$ の間の漸化式を求めます。部分積分を利用します。

$I_n = \int_0^{\pi/2} \cos^n \theta d\theta = \int_0^{\pi/2} \cos^{n-1} \theta \cos \theta d\theta$

$u = \cos^{n-1} \theta$, $dv = \cos \theta d\theta$ とすると、$du = (n-1) \cos^{n-2} \theta (-\sin \theta) d\theta$, $v = \sin \theta$ なので、

$I_n = \left[ \cos^{n-1} \theta \sin \theta \right]_0^{\pi/2} + (n-1) \int_0^{\pi/2} \cos^{n-2} \theta \sin^2 \theta d\theta$

$= 0 + (n-1) \int_0^{\pi/2} \cos^{n-2} \theta (1 - \cos^2 \theta) d\theta$

$= (n-1) \int_0^{\pi/2} \cos^{n-2} \theta d\theta - (n-1) \int_0^{\pi/2} \cos^n \theta d\theta$

$I_n = (n-1)I_{n-2} - (n-1)I_n$

$I_n + (n-1)I_n = (n-1)I_{n-2}$

$nI_n = (n-1)I_{n-2}$

$I_n = \frac{n-1}{n} I_{n-2}$

$I_0 = \int_0^{\pi/2} d\theta = \frac{\pi}{2}$

$I_1 = \int_0^{\pi/2} \cos \theta d\theta = \left[ \sin \theta \right]_0^{\pi/2} = 1$

$n$が偶数のとき、$n = 2k$とすると

$I_{2k} = \frac{2k-1}{2k} I_{2k-2} = \frac{2k-1}{2k} \frac{2k-3}{2k-2} I_{2k-4} = \dots = \frac{(2k-1)!!}{(2k)!!} I_0 = \frac{(2k-1)!!}{(2k)!!} \frac{\pi}{2}$

$I_{2k} = \frac{(2k-1)!!}{(2k)!!} \frac{\pi}{2}$

$n$が奇数のとき、$n = 2k+1$とすると

$I_{2k+1} = \frac{2k}{2k+1} I_{2k-1} = \frac{2k}{2k+1} \frac{2k-2}{2k-1} I_{2k-3} = \dots = \frac{(2k)!!}{(2k+1)!!} I_1 = \frac{(2k)!!}{(2k+1)!!}$

$I_{2k+1} = \frac{(2k)!!}{(2k+1)!!}$

(2)

$0 \le x \le 1$ において $1-x^2 \le e^{-x^2} \le \frac{1}{1+x^2}$ であることを示す。

$1-x^2 \le e^{-x^2}$ について、$f(x) = e^{-x^2} - (1-x^2)$ とおくと、$f(0) = 0$

$f'(x) = -2xe^{-x^2} + 2x = 2x(1-e^{-x^2}) \ge 0$ なので、$f(x) \ge 0$

$e^{-x^2} \le \frac{1}{1+x^2}$ について、$g(x) = \frac{1}{1+x^2} - e^{-x^2}$ とおくと、$g(0) = 0$

$g'(x) = -\frac{2x}{(1+x^2)^2} + 2xe^{-x^2} = 2x \left(e^{-x^2} - \frac{1}{(1+x^2)^2} \right)$

$0 \le x \le 1$ において $e^{-x^2} \ge \frac{1}{(1+x^2)^2}$であることを示す。

$0 \le x \le 1$ において、$(1-x^2)^n \le (e^{-x^2})^n = e^{-nx^2} \le \frac{1}{(1+x^2)^n}$ が成り立つ。

よって、$\int_0^1 (1-x^2)^n dx \le \int_0^1 e^{-nx^2} dx \le \int_0^1 \frac{dx}{(1+x^2)^n}$ が成り立つ。

(3)

(2) の結果から $\int_0^1 (1-x^2)^n dx \le \int_0^1 e^{-nx^2} dx \le \int_0^\infty \frac{dx}{(1+x^2)^n}$ が成り立つ。

$\int_0^1 (1-x^2)^n dx$ について、$x = \sin \theta$ とおくと、$dx = \cos \theta d\theta$, $0 \le \theta \le \pi/2$

$\int_0^1 (1-x^2)^n dx = \int_0^{\pi/2} (1-\sin^2 \theta)^n \cos \theta d\theta = \int_0^{\pi/2} \cos^{2n} \theta d\theta = I_{2n}$

$\int_0^\infty \frac{dx}{(1+x^2)^n}$ について、$x = \tan \theta$ とおくと、$dx = \frac{d\theta}{\cos^2 \theta}$, $0 \le \theta \le \pi/2$

$\int_0^\infty \frac{dx}{(1+x^2)^n} = \int_0^{\pi/2} \frac{1}{(1+\tan^2 \theta)^n} \frac{d\theta}{\cos^2 \theta} = \int_0^{\pi/2} \frac{\cos^{2n} \theta}{\frac{1}{\cos^{2n} \theta}} \frac{d\theta}{\cos^2 \theta} = \int_0^{\pi/2} \cos^{2n-2} \theta d\theta = I_{2n-2}$

(4)

$\int_0^1 e^{-nx^2} dx$ について、$t = \sqrt{n}x$ とおくと、$x = \frac{t}{\sqrt{n}}$, $dx = \frac{dt}{\sqrt{n}}$

$\int_0^1 e^{-nx^2} dx = \int_0^{\sqrt{n}} e^{-t^2} \frac{dt}{\sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{n}} \int_0^{\sqrt{n}} e^{-t^2} dt$

$\int_0^\infty e^{-x^2} dx = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n}} \int_0^1 e^{-nx^2} dx$

(3)より $I_{2n} \le \int_0^1 e^{-nx^2} dx \le I_{2n-2}$

$I_{2n} = \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} \frac{\pi}{2}$

$I_{2n-2} = \frac{(2n-3)!!}{(2n-2)!!} \frac{\pi}{2}$

$\frac{1}{\sqrt{n}} \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} \frac{\pi}{2} \le \int_0^{\sqrt{n}} e^{-t^2} \frac{dt}{\sqrt{n}} \le \frac{1}{\sqrt{n}} \frac{(2n-3)!!}{(2n-2)!!} \frac{\pi}{2}$

ウォリスの公式を利用すると、

$\lim_{n \to \infty} \sqrt{n} \frac{(2n)!!}{(2n-1)!!} = \sqrt{\pi}$ より $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n}} \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} = \frac{1}{\sqrt{\pi}}$

よって、$\lim_{n \to \infty} \int_0^{\sqrt{n}} e^{-t^2} dt = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $I_n = \frac{n-1}{n} I_{n-2}$

$I_{2k} = \frac{(2k-1)!!}{(2k)!!} \frac{\pi}{2}$

$I_{2k+1} = \frac{(2k)!!}{(2k+1)!!}$

(3) $\int_0^1 (1-x^2)^n dx = I_{2n}$

$\int_0^\infty \frac{dx}{(1+x^2)^n} = I_{2n-2}$

(4) $\int_0^\infty e^{-x^2} dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$