定積分 $\int_{1}^{e} x(\log x)^2 dx$ の値を求める問題です。ここで、対数は自然対数であり、$e$ は自然対数の底です。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{1}^{e} x(\log x)^2 dx$ の値を求める問題です。ここで、対数は自然対数であり、$e$ は自然対数の底です。

2. 解き方の手順

まず、部分積分を用いて積分を計算します。

$I = \int_{1}^{e} x (\log x)^2 dx$

$u = (\log x)^2$, $dv = x dx$ とおくと、

$du = 2 (\log x) \cdot \frac{1}{x} dx = \frac{2 \log x}{x} dx$, $v = \frac{x^2}{2}$

部分積分を行うと、

$I = \left[ \frac{x^2}{2} (\log x)^2 \right]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x^2}{2} \cdot \frac{2 \log x}{x} dx$

$I = \left[ \frac{x^2}{2} (\log x)^2 \right]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} x \log x dx$

$I = \frac{e^2}{2} (\log e)^2 - \frac{1^2}{2} (\log 1)^2 - \int_{1}^{e} x \log x dx$

$I = \frac{e^2}{2} (1)^2 - \frac{1}{2} (0)^2 - \int_{1}^{e} x \log x dx$

$I = \frac{e^2}{2} - \int_{1}^{e} x \log x dx$

次に、$\int_{1}^{e} x \log x dx$ を部分積分で計算します。

$u = \log x$, $dv = x dx$ とおくと、

$du = \frac{1}{x} dx$, $v = \frac{x^2}{2}$

$\int_{1}^{e} x \log x dx = \left[ \frac{x^2}{2} \log x \right]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} dx$

$= \frac{e^2}{2} \log e - \frac{1^2}{2} \log 1 - \int_{1}^{e} \frac{x}{2} dx$

$= \frac{e^2}{2} - 0 - \left[ \frac{x^2}{4} \right]_{1}^{e}$

$= \frac{e^2}{2} - \left( \frac{e^2}{4} - \frac{1}{4} \right)$

$= \frac{e^2}{2} - \frac{e^2}{4} + \frac{1}{4}$

$= \frac{e^2}{4} + \frac{1}{4}$

したがって、

$I = \frac{e^2}{2} - \left( \frac{e^2}{4} + \frac{1}{4} \right)$

$I = \frac{e^2}{2} - \frac{e^2}{4} - \frac{1}{4}$

$I = \frac{2e^2}{4} - \frac{e^2}{4} - \frac{1}{4}$

$I = \frac{e^2}{4} - \frac{1}{4}$

$I = \frac{e^2 - 1}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{e^2 - 1}{4}$