関数 $f(x) = \frac{2x+1}{x^2+2}$ について、以下の問いに答える。 (1) $f(x)$ を微分せよ。 (2) $f(x)$ の増減を調べ、極値を求めよ。 (3) $t$ の方程式 $a\sin^2t - 2\sin t + 2a - 1 = 0$ が実数解を持つような実数 $a$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{2x+1}{x^2+2}$ について、以下の問いに答える。

(1) $f(x)$ を微分せよ。

(2) $f(x)$ の増減を調べ、極値を求めよ。

(3) $t$ の方程式 $a\sin^2t - 2\sin t + 2a - 1 = 0$ が実数解を持つような実数 $a$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 微分

$f(x) = \frac{2x+1}{x^2+2}$ を微分する。商の微分公式 $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を使う。

$u = 2x+1$, $u' = 2$

$v = x^2+2$, $v' = 2x$

したがって、

$f'(x) = \frac{2(x^2+2) - (2x+1)(2x)}{(x^2+2)^2} = \frac{2x^2+4 - (4x^2+2x)}{(x^2+2)^2} = \frac{-2x^2 - 2x + 4}{(x^2+2)^2} = \frac{-2(x^2+x-2)}{(x^2+2)^2} = \frac{-2(x+2)(x-1)}{(x^2+2)^2}$

(2) 増減と極値

$f'(x) = 0$ となるのは $x=-2, 1$ のとき。

$f'(x)$ の符号を調べる。

$x < -2$ のとき、 $x+2<0$, $x-1<0$ だから $f'(x) < 0$。

$-2 < x < 1$ のとき、 $x+2>0$, $x-1<0$ だから $f'(x) > 0$。

$x > 1$ のとき、 $x+2>0$, $x-1>0$ だから $f'(x) < 0$。

したがって、$f(x)$ は $x < -2$ で減少、$-2 < x < 1$ で増加、$x > 1$ で減少する。

$x=-2$ で極小値をとり、極小値は $f(-2) = \frac{2(-2)+1}{(-2)^2+2} = \frac{-3}{6} = -\frac{1}{2}$。

$x=1$ で極大値をとり、極大値は $f(1) = \frac{2(1)+1}{1^2+2} = \frac{3}{3} = 1$。

(3) 方程式

$a\sin^2t - 2\sin t + 2a - 1 = 0$

$\sin t = s$ とおくと、$-1 \le s \le 1$。

$as^2 - 2s + 2a - 1 = 0$

$a(s^2+2) = 2s+1$

$a = \frac{2s+1}{s^2+2}$

$g(s) = \frac{2s+1}{s^2+2}$ とおく。

$g'(s) = \frac{2(s^2+2) - (2s+1)(2s)}{(s^2+2)^2} = \frac{2s^2+4 - 4s^2-2s}{(s^2+2)^2} = \frac{-2s^2-2s+4}{(s^2+2)^2} = \frac{-2(s^2+s-2)}{(s^2+2)^2} = \frac{-2(s+2)(s-1)}{(s^2+2)^2}$

$-1 \le s \le 1$ で考える。 $s=1$ のとき $g'(s)=0$.

$g(-1) = \frac{2(-1)+1}{(-1)^2+2} = \frac{-1}{3} = -\frac{1}{3}$

$g(1) = \frac{2(1)+1}{1^2+2} = \frac{3}{3} = 1$

$g'(s) = 0$ となるのは $s=1$ のみ。

$-1 \le s < 1$ では $g'(s) > 0$ なので、$g(s)$ は単調増加。

よって、$-\frac{1}{3} \le a \le 1$。

3. 最終的な答え

(1) $f'(x) = \frac{-2(x+2)(x-1)}{(x^2+2)^2}$

(2) 極小値 $f(-2) = -\frac{1}{2}$, 極大値 $f(1) = 1$

(3) $-\frac{1}{3} \le a \le 1$