媒介変数 $t$ で表された曲線 $x = e^t$, $y = \frac{1}{4}(e^{2t} - 2t)$ ($0 \le t \le 1$) の長さを求めます。

1. 問題の内容

媒介変数 $t$ で表された曲線 $x = e^t$, $y = \frac{1}{4}(e^{2t} - 2t)$ ($0 \le t \le 1$) の長さを求めます。

2. 解き方の手順

曲線の長さは、次の公式で計算できます。

$L = \int_{a}^{b} \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2} dt$

まず、$x$ と $y$ を $t$ で微分します。

$\frac{dx}{dt} = e^t$

$\frac{dy}{dt} = \frac{1}{4}(2e^{2t} - 2) = \frac{1}{2}(e^{2t} - 1)$

次に、$(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2$ を計算します。

$(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2 = (e^t)^2 + (\frac{1}{2}(e^{2t} - 1))^2 = e^{2t} + \frac{1}{4}(e^{4t} - 2e^{2t} + 1) = \frac{1}{4}(4e^{2t} + e^{4t} - 2e^{2t} + 1) = \frac{1}{4}(e^{4t} + 2e^{2t} + 1) = \frac{1}{4}(e^{2t} + 1)^2$

したがって、

$\sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2} = \sqrt{\frac{1}{4}(e^{2t} + 1)^2} = \frac{1}{2}(e^{2t} + 1)$

曲線の長さは、積分することで求められます。

$L = \int_{0}^{1} \frac{1}{2}(e^{2t} + 1) dt = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} (e^{2t} + 1) dt = \frac{1}{2} [\frac{1}{2}e^{2t} + t]_{0}^{1} = \frac{1}{2} [(\frac{1}{2}e^{2(1)} + 1) - (\frac{1}{2}e^{2(0)} + 0)] = \frac{1}{2} [(\frac{1}{2}e^2 + 1) - (\frac{1}{2} + 0)] = \frac{1}{2} [\frac{1}{2}e^2 + \frac{1}{2}] = \frac{1}{4}(e^2 + 1)$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{4}(e^2 + 1)$