定積分 $\int_{0}^{1} xe^{2x} dx$ の値を求めよ。ただし、$e$は自然対数の底とする。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{1} xe^{2x} dx$ の値を求めよ。ただし、$e$は自然対数の底とする。

2. 解き方の手順

部分積分を使って解きます。部分積分の公式は次の通りです。

$\int u dv = uv - \int v du$

ここで、$u = x$、$dv = e^{2x} dx$ とすると、$du = dx$、$v = \int e^{2x} dx = \frac{1}{2}e^{2x}$ となります。

したがって、

$\int_{0}^{1} xe^{2x} dx = \left[ x \cdot \frac{1}{2}e^{2x} \right]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{2}e^{2x} dx$

$= \left[ \frac{1}{2}xe^{2x} \right]_{0}^{1} - \frac{1}{2} \int_{0}^{1} e^{2x} dx$

$= \left[ \frac{1}{2}xe^{2x} \right]_{0}^{1} - \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{2}e^{2x} \right]_{0}^{1}$

$= \frac{1}{2}(1 \cdot e^{2} - 0 \cdot e^{0}) - \frac{1}{4}(e^{2} - e^{0})$

$= \frac{1}{2}e^{2} - \frac{1}{4}e^{2} + \frac{1}{4}$

$= \frac{1}{4}e^{2} + \frac{1}{4}$

$= \frac{e^{2} + 1}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{e^{2} + 1}{4}$