定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\cos 3x)(\sin 2x)(\tan x) dx$ を計算してください。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\cos 3x)(\sin 2x)(\tan x) dx$ を計算してください。

2. 解き方の手順

まず、三角関数の積を和または差に変換します。$\sin 2x = 2\sin x \cos x$ と $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ を用いると、被積分関数は次のように書き換えられます。

$(\cos 3x)(\sin 2x)(\tan x) = (\cos 3x)(2\sin x \cos x)\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right) = 2 \cos 3x \sin^2 x$

次に、$\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$ を用いると、

$2 \cos 3x \sin^2 x = 2 \cos 3x \left(\frac{1 - \cos 2x}{2}\right) = \cos 3x (1 - \cos 2x) = \cos 3x - \cos 3x \cos 2x$

さらに、$\cos A \cos B = \frac{1}{2}(\cos(A+B) + \cos(A-B))$ を用いると、

$\cos 3x \cos 2x = \frac{1}{2}(\cos(3x+2x) + \cos(3x-2x)) = \frac{1}{2}(\cos 5x + \cos x)$

したがって、被積分関数は次のようになります。

$\cos 3x - \cos 3x \cos 2x = \cos 3x - \frac{1}{2}(\cos 5x + \cos x) = \cos 3x - \frac{1}{2}\cos 5x - \frac{1}{2}\cos x$

よって、積分は次のようになります。

$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \left(\cos 3x - \frac{1}{2}\cos 5x - \frac{1}{2}\cos x\right) dx = \left[\frac{1}{3}\sin 3x - \frac{1}{10}\sin 5x - \frac{1}{2}\sin x\right]_{0}^{\frac{\pi}{4}}$

$\left[\frac{1}{3}\sin 3x - \frac{1}{10}\sin 5x - \frac{1}{2}\sin x\right]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = \frac{1}{3}\sin\frac{3\pi}{4} - \frac{1}{10}\sin\frac{5\pi}{4} - \frac{1}{2}\sin\frac{\pi}{4} - (0) = \frac{1}{3}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) - \frac{1}{10}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) - \frac{1}{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\sqrt{2}}{6} + \frac{\sqrt{2}}{20} - \frac{\sqrt{2}}{4} = \sqrt{2}\left(\frac{1}{6} + \frac{1}{20} - \frac{1}{4}\right) = \sqrt{2}\left(\frac{10+3-15}{60}\right) = \sqrt{2}\left(\frac{-2}{60}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{30}$

3. 最終的な答え

$-\frac{\sqrt{2}}{30}$