$a, b, c$ を実数とするとき、定積分 $\int_{1}^{3} (ax^2 + bx + c) dx$ を求めよ。

1. 問題の内容

$a, b, c$ を実数とするとき、定積分 $\int_{1}^{3} (ax^2 + bx + c) dx$ を求めよ。

2. 解き方の手順

定積分 $\int_{1}^{3} (ax^2 + bx + c) dx$ を計算する。

まず、積分の中の関数 $ax^2 + bx + c$ の不定積分を求める。

$$\int (ax^2 + bx + c) dx = \frac{a}{3}x^3 + \frac{b}{2}x^2 + cx + C$$

ここで、$C$は積分定数である。

次に、定積分の定義に従い、不定積分に積分区間の上限と下限を代入し、その差を計算する。

$$\int_{1}^{3} (ax^2 + bx + c) dx = \left[ \frac{a}{3}x^3 + \frac{b}{2}x^2 + cx \right]_1^3$$

$$\int_{1}^{3} (ax^2 + bx + c) dx = \left( \frac{a}{3}(3)^3 + \frac{b}{2}(3)^2 + c(3) \right) - \left( \frac{a}{3}(1)^3 + \frac{b}{2}(1)^2 + c(1) \right)$$

$$\int_{1}^{3} (ax^2 + bx + c) dx = \left( 9a + \frac{9}{2}b + 3c \right) - \left( \frac{1}{3}a + \frac{1}{2}b + c \right)$$

$$\int_{1}^{3} (ax^2 + bx + c) dx = 9a - \frac{1}{3}a + \frac{9}{2}b - \frac{1}{2}b + 3c - c$$

$$\int_{1}^{3} (ax^2 + bx + c) dx = \frac{26}{3}a + \frac{8}{2}b + 2c$$

$$\int_{1}^{3} (ax^2 + bx + c) dx = \frac{26}{3}a + 4b + 2c$$

3. 最終的な答え

$\frac{26}{3}a + 4b + 2c$